第 3 章 模型函数形式与模型选择

定义 3.1 (过原点回归模型) 也称为无截距模型，是指没有截距项的一类线性回归模型。一般地，过原点总体回归模型（PRM）和样本回归模型（SRM）分别记为： \[\begin{align} Y_i&=\beta_2X_i+u_i \tag{3.1}\\ Y_i&=\hat{\beta}_2X_i+e_i \tag{3.2} \end{align}\]

实际模型设置中，究竟要采用经典的有截距模型，还是采用无截距模型，需要注意的是：

定义 3.2 (尺度因子) 也称为单位变换因子，是指对一个变量的尺度或单位进行变换的权数，一般用\(\omega(\omega \in \mathcal{R},\omega \neq 0)\)表示。一般地，总体回归模型（PRM）和样本回归模型（SRM）分别记为：

在同一个变量，可能有不同计量单位取值时，我们可以得到如下备选模型： \[\begin{align} Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_i+e_i \tag{3.3}\\ Y_i^{\ast}&=\hat{\beta}_1^{\ast}+\hat{\beta}_2^{\ast}X_i^{\ast}+e_i^{\ast} \tag{3.4} \end{align}\]

其中：\(Y_i^{\ast}=\omega_1Y_i;\ \ X_i^{\ast}=\omega_2 X_i\)

此时，采用最小二乘法进行参数估计，容易证明两个模型的关系如下：

\[\begin{align} \hat{\beta}_2^{\ast}&=\frac{\omega_1}{\omega_2}\hat{\beta}_2 \tag{3.5}\\ \hat{\beta}_1^{\ast}&=\omega_1\hat{\beta}_1 \tag{3.6}\\ {\hat{\sigma}^{\ast}}^2&=\omega_1^2 \hat{\sigma}^2 \tag{3.7}\\ var(\beta_2^{\ast})&={\left ( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right )}^2 var(\hat{\beta}_2) \tag{3.8}\\ var(\beta_2^{\ast})&={\left ( \omega_1 \right )}^2 var(\hat{\beta}_1) \tag{3.9}\\ r^2_{(X,Y)}&=r^2_{(X^{\ast},Y^{\ast})} \tag{3.10} \end{align}\]

模型对比，得出如下主要结论：

若\(\omega_1=\omega_2\)，即两个变量的尺度因子相等时：则斜率系数及其标准误不受尺度因子的影响，但截距及其标准误却放大或缩小至\(\omega_1\)倍

若变量\(X\)的尺度不变（\(\omega_2=1\)），而变量\(Y\)的尺度因子（\(\omega_1\)）变化：则斜率和截距系数以及它们各自的标准误都要乘以同样的因子\(\omega_1\)

若变量\(Y\)的尺度因子不变（\(\omega_1=1\)），而变量\(X\)的尺度（\(\omega_2\)）变化：则斜率系数及其标准误都要乘以\(\frac{1}{\omega_2}\)，而截距系数及其标准误不变

重点讨论以下的三种回归模型：

定义 3.3 (双对数模型) 是指自变量和因变量都以对数形式出现的一类线性回归模型（double-log model）。一般地，总体回归模型（PRM）和样本回归模型（SRM）分别记为： \[\begin{align} ln(Y_i)&=\beta_1+\beta_2ln(X_i)+u_i \tag{3.11}\\ ln(Y_i)&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2ln(X_i)+e_i \tag{3.12} \end{align}\]

定义 3.4 (半对数模型) 是指自变量和因变量的其中之一以对数形式出现的一类线性回归模型（semi-log model）。一般地，可以分为：

线性到对数模型（linear-log model）：只有因变量\(Y\)以对数形式出现。其总体回归模型（PRM）和样本回归模型（SRM）分别记为： \[\begin{align} ln(Y_i)&=\beta_1+\beta_2X_i+u_i \tag{3.13}\\ ln(Y_i)&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2X_i+e_i \tag{3.14} \end{align}\]

对数到线性模型（linear-log model）：只有自变量\(X\)以对数形式出现。其总体回归模型（PRM）和样本回归模型（SRM）分别记为： \[\begin{align} Y_i&=\beta_1+\beta_2ln(X_i)+u_i \tag{3.15}\\ Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2ln(X_i)+e_i \tag{3.16} \end{align}\]

定义 3.5 (倒数模型) 是指自变量以倒数形式出现的一类线性回归模型（reciprocal model）。一般地，总体回归模型（PRM）和样本回归模型（SRM）分别记为： \[\begin{align} Y_i&=\beta_1+\beta_2\frac{1}{X_i}+u_i \tag{3.17}\\ Y_i&=\hat{\beta}_1+\hat{\beta}_2\frac{1}{X_i}+e_i \tag{3.18} \end{align}\]

对于上述三类模型形式的比较和选择，需要一些技巧和经验：

进行不同模型形式的Eviews操作，包括过原点模型、尺度变换模型、双对数模型、半对数模型、倒数模型。

学会计算不同模型形式下Y对X的斜率和弹性公式。

本次实验需要提前准备好如下软件：

英国家庭食物支出：表3.1给出了1980-1982年间英国家庭支出调查中1519个家庭在Y家庭总支出(10英镑)，X食物支出(10英镑)等方面的数据。数据只包括住在伦敦市区和市郊有1~2个子女的家庭，样本不包括自我雇佣和退休家庭。

变量说明见表3.2：

图形对象（Graph）的命名规则：

方程对象（Equation）的命名规则：

向量对象（Vector）的命名规则：

标量对象（Scalar）的命名规则：

表格对象（Table）的命名规则：

Eviews操作目标：构建工作文件，成功导入数据

Eviews操作思路：利用EViews代码创建工作文件并导入数据。

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到创建的工作文件和导入的数据，可以双击查看（见图3.1）：

图 3.1: 创建工作文件并导入数据

Eviews操作目标：分析散点图形态，初步了解Y与X的关系

Eviews操作思路：初步尝试绘制三种散点图，分别是：X与Y的散点图；log(X)与log(Y)的散点图；1/X与log(Y)的散点图。

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的图形对象，可以双击查看（见图3.2）：

图 3.2: 创建工作文件并导入数据

三类散点图对比见图3.3：

图 3.3: 散点图对比

Eviews操作目标：得到回归方程，查看回归结果

Eviews操作思路：构建回归方程对象

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的方程对象，可以双击查看（见图3.4）：

图 3.4: 生成7个回归方程对象

7类回归方程结果对比分析见图3.5：

图 3.5: 经典模型m1和双对数模型m3的对比

经典线性回归模型m1的简要回归报告如下： \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+\hat{\beta}_{1}&&+\hat{\beta}_{2}X\\ \end{alignedat} \tag{3.19} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+28.48&&+2.13X\\ &\text{(t)}&&(11.2745)&&(29.6660)\\ &\text{(se)}&&(2.5259)&&(0.0717)\\ &\text{(fitness)}&& n=1519;&& R^2=0.3671;&& \bar{R^2}=0.3667\\ & && F^{\ast}=880.07;&& p=0.0000\\ \end{alignedat} \tag{3.20} \end{equation}\]

过原点模型m2的简要回归报告如下： \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+\hat{\beta}_{1}X\\ \end{alignedat} \tag{3.21} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+2.88X\\ &\text{(t)}&&(110.7185)\\ &\text{(se)}&&(0.0261)\\ &\text{(fitness)}&& n=1519;&& R^2=0.8898;&& \bar{R^2}=0.8897\\ & && F^{\ast}=12258.59;&& p=0.0000\\ \end{alignedat} \tag{3.22} \end{equation}\]

双对数回归模型m3的简要回归报告如下： \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y)}=&&+\hat{\beta}_{1}&&+\hat{\beta}_{2}log(X)\\ \end{alignedat} \tag{3.23} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y)}=&&+2.22&&+0.67log(X)\\ &\text{(t)}&&(29.6904)&&(30.9577)\\ &\text{(se)}&&(0.0746)&&(0.0216)\\ &\text{(fitness)}&& n=1519;&& R^2=0.3872;&& \bar{R^2}=0.3868\\ & && F^{\ast}=958.38;&& p=0.0000\\ \end{alignedat} \tag{3.24} \end{equation}\]

双数线性回归模型m4的简要回归报告如下： \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y)}=&&+\hat{\beta}_{1}&&+\hat{\beta}_{2}X\\ \end{alignedat} \tag{3.25} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y)}=&&+3.86&&+0.02X\\ &\text{(t)}&&(173.4843)&&(31.4804)\\ &\text{(se)}&&(0.0222)&&(0.0006)\\ &\text{(fitness)}&& n=1519;&& R^2=0.3951;&& \bar{R^2}=0.3947\\ & && F^{\ast}=991.02;&& p=0.0000\\ \end{alignedat} \tag{3.26} \end{equation}\]

线性对数回归模型m5的简要回归报告如下：

\[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+\hat{\beta}_{1}&&+\hat{\beta}_{2}log(X)\\ \end{alignedat} \tag{3.27} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&-133.81&&+67.74log(X)\\ &\text{(t)}&&(-15.3436)&&(26.8078)\\ &\text{(se)}&&(8.7212)&&(2.5269)\\ &\text{(fitness)}&& n=1519;&& R^2=0.3215;&& \bar{R^2}=0.3210\\ & && F^{\ast}=718.66;&& p=0.0000\\ \end{alignedat} \tag{3.28} \end{equation}\]

线性倒数回归模型m6的简要回归报告如下：

\[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+\hat{\beta}_{1}&&+\hat{\beta}_{2}I(1/X)\\ \end{alignedat} \tag{3.29} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{Y}=&&+148.38&&-1437.00I(1/X)\\ &\text{(t)}&&(57.1834)&&(-20.6754)\\ &\text{(se)}&&(2.5948)&&(69.5030)\\ &\text{(fitness)}&& n=1519;&& R^2=0.2198;&& \bar{R^2}=0.2193\\ & && F^{\ast}=427.47;&& p=0.0000\\ \end{alignedat} \tag{3.30} \end{equation}\]

对数倒数回归模型m7的简要回归报告如下：

\[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y)}=&&+\hat{\beta}_{1}&&+\hat{\beta}_{2}I(1/X)\\ \end{alignedat} \tag{3.31} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{alignedat}{999} &\widehat{log(Y)}=&&+5.03&&-14.95I(1/X)\\ &\text{(t)}&&(226.2858)&&(-25.1160)\\ &\text{(se)}&&(0.0222)&&(0.5954)\\ &\text{(fitness)}&& n=1519;&& R^2=0.2937;&& \bar{R^2}=0.2932\\ & && F^{\ast}=630.81;&& p=0.0000\\ \end{alignedat} \tag{3.32} \end{equation}\]

Eviews操作目标：得到各类回归的回归系数

Eviews操作思路：用EViews代码提取各类回归方程中的回归系数

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的向量对象，可以双击查看（见图3.6）：

图 3.6: 提取得到7个回归方程的回归系数

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的标量对象，可以双击查看（见图3.7）：

图 3.7: 提取得到7个回归方程的回归系数

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的标量对象，可以双击查看（见图3.8）： * 线性模型M1的回归方程中，Y对X的斜率slp1 * 过原点模型M2的回归方程中，Y对X的斜率slp2 * 双对数模型M3的回归方程中，Y对X的斜率slp3 * 线性到对数模型M4的回归方程中，Y对X的斜率slp4 * 对数到线性模型M5的回归方程中，Y对X的斜率slp5 * 倒数模型M6的回归方程中，Y对X的斜率slp6 * 对数倒数模型M7的回归方程中，Y对X的斜率slp7

图 3.8: 计算得到7个回归方程中Y对X的斜率

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的标量对象，可以双击查看（见图3.9）： * 线性模型M1的回归方程中，Y对X的点弹性els_point1 * 过原点模型M2的回归方程中，Y对X的点弹性els_point2 * 双对数模型M3的回归方程中，Y对X的点弹性els_point3 * 线性到对数模型M4的回归方程中，Y对X的点弹性els_point4 * 对数到线性模型M5的回归方程中，Y对X的点弹性els_point5 * 倒数模型M6的回归方程中，Y对X的点弹性els_point6 * 对数倒数模型M7的回归方程中，Y对X的点弹性els_point7

图 3.9: 计算得到7个回归方程中Y对X的斜率

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的标量对象，可以双击查看（见图3.10）： * 线性模型M1的回归方程中，Y对X的平均弹性els_avr1 * 过原点模型M2的回归方程中，Y对X的平均弹性els_avr2 * 双对数模型M3的回归方程中，Y对X的平均弹性els_avr3 * 线性到对数模型M4的回归方程中，Y对X的平均弹性els_avr4 * 对数到线性模型M5的回归方程中，Y对X的平均弹性els_avr5 * 倒数模型M6的回归方程中，Y对X的平均弹性els_avr6 * 对数倒数模型M7的回归方程中，Y对X的平均弹性els_avr7

图 3.10: 计算得到7个回归方程中Y对X的斜率

在命令视窗中依次输入并运行如下EViews代码：

在工作文件视窗下，可以看到如下新生成的表格对象tab_show，可以双击查看（见图3.11）。

图 3.11: 计算结果对比分析表

7类回归方程计算结果对比分析见图3.12：

图 3.12: 7类回归方程计算结果对比

Eviews操作目标：得到\(Y_i\)相对于\(1/X_i\)的Eviews回归报告，提取回归系数

Eviews操作思路：

利用常规流程获得Eviews回归分析：

保存好分析报告（建议命名为m6）：

提取报告中的回归系数（建议命名为coef6）：

Eviews操提示：两个Eviews模型内置对象（C和rsid）

C和rsid都是Eviews模型内置对象，一旦建立workfile就会系统产生，用户不能对它进行删除或重命名（delete or rename）操作。

C和rsid是“临时容器”。它们只会装载最近一次Eviews建模分析（Estimate Equation）时的回归系数\(\hat{\beta}_i\)和回归残差\(e_i\)。一旦用户进行了新的Eviews建模分析（Estimate Equation）操作，它们就立即会被最新回归建模的系数和残差信息所“更新”。

如果用户要创建多个回归方程，又想保留每个回归方程的回归系数\(\hat{\beta}_i\)和残差\(e_i\)，可以通过下面两种方法将结果从“临时容器”中提取出来，并保存到指定的对象中去：

“临时容器”C和rsid按照Eviews建模先后次序不断被“更新”信息（分别是回归系数和残差序列）。“更新”基本原则是“依次占据对象的空间位置”。

图 3.13: 构造倒数模型的回归方程

图 3.14: 提取回归方程的系数

Eviews操作目标：得到Y相对于X的点斜率\((X_0=100,Y_0=30)\)点斜率(slope)

总体回归模型（PRM）：\(Y_i=\beta_1+\beta_2/X_i+u_i\)

点斜率计算公式：\(\beta_2/X_i^2\)

Eviews操作思路：

提取coef6的第二个值（也即\(\hat{\beta}_2\)），利用斜率公式计算得到Y相对于X的点斜率（建议命名为slp6）：

图 3.15: 得到Y对X的点斜率

Eviews操作目标：得到Y相对于X的平均弹性(elasticity)

总体回归模型（PRM）：\(Y_i=\beta_1+\beta_2/X_i+u_i\)

平均弹性计算公式：\(-\beta_2/(\bar{X}\bar{Y}\)

Eviews操作思路：

求出标量\(\bar{X}\)和\(\bar{Y}\)（建议分别命名为x_mean和y_mean）：

命令操作：scalar x_mean=@mean(x)

命令操作：scalar y_mean=@mean(y)

提取coef6的第二个值（也即\(\hat{\beta}_2\)），利用平均弹性公式计算得到Y相对于X的平均弹性（建议命名为els6）：

图 3.16: 得到Y和X的均值

图 3.17: 得到Y对X的平均弹性

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家庭食物支出：表3.3给出了1980-1982年间英国家庭支出调查中1522个家庭在Y家庭总支出(10英镑)，X食物支出(10英镑)等方面的数据。数据只包括住在伦敦市区和市郊有1~2个子女的家庭，样本不包括自我雇佣和退休家庭。

变量说明见表3.4：

根据上述资料请回答如下问题：

利用家庭总支出(Y)与食物支出(X)数据，通过对表\(\ref{modelslc}\) 中概括的各类模型，对变量进行相应变换，并分别作出散点图（七个图）。（提示：分别把图拷贝过来）

利用家庭总支出(Y)与食物支出(X)数据，对表\(\ref{modelslc}\) 中概括的各类模型进行回归拟合（七个模型）?（提示：分别把分析报告截图复制过来）

利用(b)的分析结果，分别计算各模型的平均弹性(els)以及在点\((X_0=100,Y_0=30)\)处的斜率(slp)。

基于(a)和 (b) 中得到的结果，你认为哪个模型看来比较适当？