オイラーの公式と複素指数関数

複素指数関数の演算は実数の場合の指数関数と同じようにできます。

実数での微分, 積分

deztdt=zezt∫eztdt=eztz+C\begin{aligned} \dfrac{de^{zt}}{dt} &= ze^{zt}\\ \int e^{zt}dt &= \dfrac{e^{zt}}{z}+C \end{aligned}dtdezt​∫eztdt​=zezt=zezt​+C​

証明は定義式を用いて単純に計算するだけなので，ぜひ一度やってみてください。

実数での微分や積分は上記のように簡単に計算できますが，複素数での微分，積分を理解するには複素解析を学ぶ必要があります。

前述した通り複素数上で三角関数は次のように定義します。

cos⁡z=eiz+e−iz2sin⁡z=eiz−e−iz2itan⁡z=eiz−e−izi(eiz+e−iz)\begin{aligned} \cos z &= \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\\ \sin z &= \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\\ \tan z &= \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{-iz})} \end{aligned}coszsinztanz​=2eiz+e−iz​=2ieiz−e−iz​=i(eiz+e−iz)eiz−e−iz​​

これを踏まえて次の例題を解いてみましょう。

cos⁡z=2\cos z = 2cosz=2 を複素数の範囲で解け。

eiz=te^{iz} = teiz=t とおく。

cos⁡z=eiz+e−iz2\cos z =\dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}cosz=2eiz+e−iz​ より，cos⁡z=2\cos z = 2cosz=2 は t+t−12=2\dfrac{t + t^{-1}}{2} = 22t+t−1​=2 と表せる。

整理すると t2−4t+1=0t^2 - 4t + 1=0t2−4t+1=0 となる。解くと t=2±3t = 2 \pm \sqrt{3}t=2±3​ となる。

よって eiz=2±3e^{iz} = 2 \pm \sqrt{3}eiz=2±3​ である。

実数 x,yx,yx,y を用いて z=x+yiz = x+ yiz=x+yi とおくと eiz=eix−y=e−y(cos⁡x+isin⁡x) e^{iz} = e^{ix - y} = e^{-y} (\cos x + i \sin x) eiz=eix−y=e−y(cosx+isinx)

これを踏まえると x=2nπx = 2n\pix=2nπ となる。また e−y=2±3e^{-y} = 2 \pm \sqrt{3}e−y=2±3​ となる。

以上より z=−ilog⁡(2±3)+2nπ z = -i \log (2\pm \sqrt{3}) + 2n\pi z=−ilog(2±3​)+2nπ となる。

このように複素数上では cos⁡\coscos や sin⁡\sinsin が 111 より大きい値を取ることがあります。

なお，以下のように周期性を持つこともわかります。

cos⁡(z+2π)=ei(z+2π)+e−i(z+2π)2=eize2πi+e−ize−2πi2=eiz+e−iz2=cos⁡z\begin{aligned} \cos (z + 2\pi) &= \dfrac{e^{i(z+2\pi)} + e^{-i(z+2\pi)}}{2}\\ &= \dfrac{e^{iz}e^{2\pi i} + e^{-iz} e^{-2\pi i}}{2}\\ &= \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\\ &= \cos z \end{aligned}cos(z+2π)​=2ei(z+2π)+e−i(z+2π)​=2eize2πi+e−ize−2πi​=2eiz+e−iz​=cosz​

指数法則を仮定すれば，加法定理も成立します。

cos⁡(z1+z2)=ei(z1+z2)+e−i(z1+z2)2=eiz1eiz2+e−iz1e−iz22=12(cos⁡z1+isin⁡z1)(cos⁡z2+isin⁡z2)+12(cos⁡z1−isin⁡z1)(cos⁡z2−isin⁡z2)=cos⁡z1cos⁡z2−sin⁡z1sin⁡z2\begin{aligned} \cos (z_1 + z_2) &= \dfrac{e^{i(z_1 + z_2)} + e^{-i (z_1 + z_2)}}{2}\\ &= \dfrac{e^{iz_1}e^{iz_2} + e^{-iz_1}e^{-iz_2}}{2}\\ &= \dfrac{1}{2} (\cos z_1 + i \sin z_1) (\cos z_2 + i \sin z_2)\\ &\quad + \dfrac{1}{2} (\cos z_1 - i \sin z_1)(\cos z_2 - i \sin z_2)\\ &= \cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2 \end{aligned}cos(z1​+z2​)​=2ei(z1​+z2​)+e−i(z1​+z2​)​=2eiz1​eiz2​+e−iz1​e−iz2​​=21​(cosz1​+isinz1​)(cosz2​+isinz2​)+21​(cosz1​−isinz1​)(cosz2​−isinz2​)=cosz1​cosz2​−sinz1​sinz2​​

ここでは cos⁡z\cos zcosz の計算のみでしたが，他の三角関数でも同様に計算できます。是非やってみてください。