用Matlab求解微分方程

2024-05-15 00:11| 来源: 网络整理| 查看: 265

用Matlab求解微分方程

解微分方程有两种解，一种是解析解，一种是数值解，这两种分别对应不同的解法

解析解

利用dsolve函数进行求解

syms x; s = dsolve('eq1,eq2,...', ’cond1,cond2,...', 'v'); %eq：微分方程 %cond：条件 %v：独立变量 %形如：方程：y'= f(t,y),初值：y(t0) = y0 1.求解析解

dsolve('Du = 1+ u^2','t') ans = tan(C2 + t) 1i -1i

求的解析解

s = dsolve('D2y=3*y+2*x','x'); % D2y用以表示y的二阶导数，默认是以t为自变量的，所以最好指明自变量为x. syms y(x); s = dsolve([diff(y,x,2) == 3*y+2*x], [y(0) == 5]) % diff内依次是函数、自变量、微分阶数，方程用==表示相等而不是赋值 2.初值问题

求初值问题

s = dsolve('Dy = y - 2*t / y','y(0) =1'); 3.边界问题

求边界问题

s = dsolve('x*D2y - 3*Dy =x^2','y(1)=0','y(5) = 0','x'); 4.高阶方程

求解方程

s=dsolve('D2y =cos(2*x) - y','y(0) =1','Dy(0) = 0','x'); simplify(s); (eqn,cond,‘IgnoreAnalyticConstraints’,false) %设置不化简结果 5.方程组问题

求解方程组

[f,g]= dsolve('Df = f + g','Dg = -f + g','f(0)=1','g(0) = 2','x'); 一些例子

dsolve('D2y+4*Dy+29*y = 0','y(0) = 0','Dy(0)= 15 ','x') ans = 3*sin(5*x)*exp(-2*x)

[x y z] = dsolve('Dx = 2*x-3*y+3*z','Dy = 4*x-5*y+3*z','Dz = 4*x-4*y+2*z') x = C7*exp(2*t) + C8*exp(-t) y = C7*exp(2*t) + C8*exp(-t) + C9*exp(-2*t) z = C7*exp(2*t) + C9*exp(-2*t) %可以对其进行简化操作 x = simplify(x) x = C7*exp(2*t) + C8*exp(-t) y = simplify(y) y =exp(-2*t)*(C9 + C8*exp(t) + C7*exp(4*t)) 数值解 %龙格库塔法(Runge-Kutta法) xfun=@(t,x)0.3.*x.*(1-x/8); %定义赋值函数r=0.3,k=8 [tout,xout]=ode45(fun,[0,40],0.1) %方程数值解，四五阶RK法 [tout,xout]=ode23(xfun,[t0,tfinal],x0) %二三阶RK法 %% ode系列数值求解形如 / = ( , )的微分方程组, 并绘图。 xfun: 输入参数，函数必须恰有t,x两个变量，用函数文件定义的fun.m则用@fun或‘fun’调用。 t0：输入参数，t的初始值。 tfinal：输入参数，t的终值。 x0：输入参数，x的初始值。 tout: 离散的自变量值， xout: 离散的函数值。 %%

同时也有一些其他的求解语句和输出语句

%% 其他的求解语句 ode45 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 其他的输出语句 odeplot odeprint odephas2 odephas3 %%

一个例子

求的数值解

首先对该方程进行换元然后建立m文件

function fyy=rhf(t,x) fyy=[y(1).*(1-y(2).^2)+y(2);y(1)]; end

最后计算数值解

y0=[0.25,0]’; [t,y]=ode23(‘rhf’,[0,0.25],y0); plot(t,y) 一些例子

%vdp1000.m function dy = vdp1000(t,y) dy = zeros(2,1); dy(1) = y(2); dy(2) = 1000*(1-y^2)*y2-y1; end %命令行输入 [T,Y] = ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);%第一个参数是文件名，第二个参数是初始时间和终止时间第三个参数是y1和y2的初值 plot(T,Y(:,1),'-'); %结果是T时间

plot(T,Y(:,1),'-k');，画Y数组中的第一列数随着T的变化曲线，‘-k’表示颜色黑色实线，

%定义函数 function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x); end 调用 x0=0; xf=0.9999; [x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]); plot(x,y(:,1),'-') hold on y=0:0．01:2; plot(1,y,'*')

微分方程模型 1.种群增长Logistic模型

N(t)表示在时刻 t时刻种群数量 r 表示种群的内禀增长率，即在没有资源限制下的种群增长率 K表示环境载量，反映资源环境对种群增长的制约作用 2.生物种群竞争模型

用 N1(t)和N2(t) 分别表示在时刻 $t$ 甲、乙两个种群数量。 a11 表示种群甲自身的被抑制的情况 a12 表示种群乙对种群甲的竞争力

参考： https://zhuanlan.zhihu.com/p/162296418

【本文地址】

公司简介

联系我们