C#，码海拾贝（18）

三角分解法亦称因子分解法，由消元法演变而来的解线性方程组的一类方法。设方程组的矩阵形式为Ax=b，三角分解法就是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积：A=LU，然后依次解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y，而得到原方程组的解，例如，杜利特尔分解法、乔莱斯基分解法等就是三角分解法。

若能通过正交变换，将系数矩阵A分解为A=LU，其中L是单位下三角矩阵(主对角线元素为1的下三角矩阵)，而U是上三角矩阵，则线性方程组Ax=b变为LUx=b，若令Ux=y，则线性方程组Ax=b的求解分为两个三角方程组的求解： (1)求解Ly=b，得y； (2)再求解Ux=y，即得方程组的解x； 因此三角分解法的关键问题在于系数矩阵A的LU分解。 矩阵能LU分解的充分条件编辑 播报 一般地，任给一个矩阵不一定有LU分解，下面给出一个矩阵能LU分解的充分条件。 定理1 对任意矩阵 ，若A的各阶顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolittle分解(或Crout分解)。 定理2 若矩阵 非奇异，且其LU分解存在，则A的LU分解是唯一的。

三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求逆矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。