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现代密码学常用符号总结

2024-07-17 06:20| 来源: 网络整理| 查看: 265

本文将总结现代密码学 (Modern Cryptography) 中的常见数学符号, 了解以下预备知识可以极大增加本文的阅读体验:

离散数学, 线性代数与概率论三门课程中的主要数学记号及其含义 ?现代密码学是一门什么样的学科 ? LaTeX \LaTeX LATE​X的基本用法与常见数学符号命令有哪些 ?

在阅读密码学相关的论文时会遇到各类符号, 即使有的论文命名法和符号风格不同, 但在符号使用规律上基本都保持一致. 因此, 本文将持续性地总结记录现代密码学中的常见符号和表示法, 方便查阅参考, 并还会结合 LaTeX \LaTeX LATE​X相关命令给出示例和一些实用技巧.

符号风格

密码学中涉及符号的风格与使用规范遵循一般的数学公式表示规范, 而这些规定通常是约定俗成的. 具体而言有:

斜体表示: 如 x , m , n x,m,n x,m,n, X , Y , Z X, Y, Z X,Y,Z等斜体形式通常用于表示变量 (variable), 如第 i i i个正整数是 n n n; 如果遇到斜体加粗, 则一般表示的是某个随机变量或随机样本.正体表示: 如 X , Y \mathsf{X},\mathsf{Y} X,Y等正体形式通常用于表示矩阵或某种变换 (transform).花体表示: E \mathcal{E} E, X \mathcal{X} X等花体形式通常表示集合概念, 因此有时会有 x ∈ X x\in \mathcal{X} x∈X.空心表示: R \mathbb{R} R, Q \mathbb{Q} Q等空心形式通常表示空间, 域等, 这些符号表示的范围通常是比花体和正体表示都要大的. LaTeX \LaTeX LATE​X特殊字体: 在实际的论文写作中，某些特殊符号或者术语样式需要用到 LaTeX \LaTeX LATE​X中的各类字体样式命令，常见命令如 \textit, \textsf, \texttt, \mathsf等。 更多信息可以参阅刘海洋老师的《LaTeX入门》第二章.

在了解上述常见符号风格后, 即使在论文中遇到没见过而且作者似乎也没解释的记号, 也可以通过记号的书写风格来结合上下文推测这一记号的大致特点.

主要符号总结

下面我们将从三个方面总结现代密码学中的主要符号, 首先就是最基础也是最常见的各种运算符了.

运算符 二元运算符 名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令使用情景异或 ⊕ \oplus ⊕01串 (或两数) 之间的异或操作\oplusOne Time Pad连接 ∣ ∣ || ∣∣顺序连接两个串||将两个串拼接后输入一个算法组合作用 ∘ \circ ∘两个函数作用的"组合"\circ密码理论分析, 白盒密码， 同态代数运算 ⋅ \cdot ⋅, + + +(模) 乘, (模) 加\cdot, +代数运算, RSA等公钥密码算法移位 < < , > > 将一个数的二进制向左或向右移动若干位各类算法(如MD5, SM4)的底层运算 概率与取样

在现代密码学涉及的基础知识中, 概率论是很重要的一环. 在密码算法的可证明安全中, 概率论与随机过程的相关知识更是充当了核心角色. 因此,虽然有些符号并非运算符, 但为了方便也将在本处一并进行介绍.

名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令使用情景采样 ← \leftarrow ←从某一集合中采样出某个样本\leftarrow生成某一元素进行后续操作随机采样 ← $ \stackrel{\$}{\leftarrow} ←$从某一集合中随机采样出某个样本\stackrel{\$}{\leftarrow}生成随机数概率 P r \mathrm{Pr} Pr计算某一事件的概率\mathrm{Pr}衡量可证明安全中的各类事件发生的概率集合 { ⋯   } \left\{\cdots\right\} {⋯}离散数学中集合的概念\left\{\cdots\right\}各类密码算法与协议概率分布 ∼ \sim ∼变量服从概率分布\sim基于格的算法与困难问题中的变量分布特征可忽略概率 ϵ \epsilon ϵ在安全参数 λ \lambda λ的多项式级别下的极小量\varepsilon可证明安全的敌手优势说明期望 E E E计算某一随机变量或者分布的数学期望E基于格的算法证明中的相关计算

当然, 在数学中还有很多其他常见的二元运算符 (例如线性代数, 抽象代数中的一大堆记号), 此处我们只介绍密码学中常用的符号及其在密码学中的用途. 如其他需要补充说明, 欢迎分享你的建议 !

常用记号

除了常用的运算符外, 在阅读各类密码学的论文时, 最令人头疼的想必是各类繁杂的数学记号了. 但好在各个记号在不同论文中的写法基本都是统一的, 只是花样众多, 令人眼烦, 我们通常只需要在第一次遇见的时候记住就可以了.

算法记号 对称密码算法 名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令使用情景密钥 K K K对称密码算法的密钥K对称密码算法中双方共享一密钥密钥生成 G e n ( 1 λ ) \mathrm{Gen}(1^{\lambda}) Gen(1λ)根据安全参数 λ \lambda λ生成算法密钥\mathrm{Gen}(1^{\lambda})许多对称密码算法的第一步加密 E n c \mathsf{Enc} Enc将明文加密为密文\mathsf{Enc}对称加密算法的主要步骤解密 D e c \mathsf{Dec} Dec将密文解密为明文\mathsf{Dec}对称加密算法的主要步骤消息认证码生成 M a c \mathsf{Mac} Mac根据对称密钥生成某条消息对应的消息认证码\mathsf{Mac}HMAC等MAC算法消息认证码验证 V r f y \mathsf{Vrfy} Vrfy根据对称密钥验证某个消息认证码是否正确\mathsf{Vrfy}HMAC等MAC算法 公钥密码算法 名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令使用情景公钥 P k \mathsf{Pk} Pk可公开的密钥\mathsf{Pk}公钥算法, PKI等私钥 S k \mathsf{Sk} Sk与公钥对应的需要秘密保存的私钥\mathsf{Sk}公钥算法密钥生成 G e n ( 1 λ ) \mathsf{Gen}(1^{\lambda}) Gen(1λ)根据安全参数 λ \lambda λ生成一对公私钥\mathsf{Gen}(1^{\lambda})公钥算法公钥加密 E n c ( P k , ⋅ ) \mathsf{Enc}(\mathsf{Pk}, \cdot) Enc(Pk,⋅)计算某一事件的概率\mathrm{Pr}加密只有私钥拥有方才能解密的信息私钥解密 D e c ( S k , ⋅ ) \mathsf{Dec}(\mathsf{Sk}, \cdot) Dec(Sk,⋅)离散数学中集合的概念\left\{\cdots\right\}略私钥签名 S i g n ( S k , ⋅ ) \mathsf{Sign}(\mathsf{Sk}, \cdot) Sign(Sk,⋅)在安全参数 λ \lambda λ的多项式级别下的极小量\varepsilon可证明安全的敌手优势说明公钥验签 V r f y ( P k , ⋅ ) \mathsf{Vrfy}(\mathsf{Pk}, \cdot) Vrfy(Pk,⋅)在安全参数 λ \lambda λ的多项式级别下的极小量\varepsilon略采样函数 S a m p \mathsf{Samp} Samp均匀选取集合中的元素\mathsf{Samp}单向置换逆置换 I n v \mathsf{Inv} Inv拥有陷门信息后的高效逆置换算法\mathsf{Inv}基于陷门置换的公钥加密

值得一提的是, 公钥算法发展至今有很多种类, 也有很多高阶方案, 如门限加密, 秘密共享, 同态加密, 可搜索加密和函数加密等等. 不同的高阶方案也衍生出了各自的算法符号范式, 诸如 T r a p \mathsf{Trap} Trap, I n d e x \mathsf{Index} Index等等. 由于这些零散记号和方案本身的特点紧密相关, 并非是公钥方案的共性操作. 故此处就不作进一步介绍.

密码学哈希 名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令使用情景计算哈希摘要 H H H从某一集合中采样出某个样本\leftarrow生成某一元素进行后续操作带密钥的哈希 H ( K , ⋅ ) H(K, \cdot) H(K,⋅), H K ( ⋅ ) H_{K}(\cdot) HK​(⋅)从某一集合中随机采样出某个样本H(K, \cdot), H_{K}(\cdot)HMAC 模糊提取器 名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令初始化 i n i t ( 1 λ ) \mathsf{init}(1^{\lambda}) init(1λ)生成公开模糊提取器的公开参数 p p \mathsf{pp} pp\mathsf{init}(1^{\lambda})生成字符串 G e n ( p p , w ; r ) \mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r}) Gen(pp,w;r)根据 p p \mathsf{pp} pp,元素 w \mathsf{w} w与随机性 r \mathsf{r} r生成字符串 R R R与公开的帮助字符串 P P P\mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r})提取字符串 R e p ( p p , w ′ ; P ) \mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P) Rep(pp,w′;P)根据 p p \mathsf{pp} pp,相近元素 w ′ \mathsf{w\prime} w′与帮助字符串 P P P还原字符串 R R R\mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P) 哈希证明系统

一般的哈希证明系统通常是一个非交互的零知识系统, 此处主要指的是Smooth Projective Hash Proof System (SPHFs)

名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令生成哈希密钥 H a s h K G ( p p ) \mathsf{HashKG}(\mathsf{pp}) HashKG(pp)根据语言系统的参数 p p \mathsf{pp} pp生成哈希密钥 h k hk hk\mathsf{HashKG}(\mathsf{pp})派生投影密钥 P r o j K G ( h k , p p , x ) \mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x) ProjKG(hk,pp,x)根据语言 x x x, p p \mathsf{pp} pp与哈希密钥 h k hk hk派生出投影密钥 h p hp hp\mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x)计算哈希 H a s h ( h k , p p , x ) \mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x) Hash(hk,pp,x)根据语言 x x x, p p \mathsf{pp} pp与哈希密钥 h k hk hk计算哈希值 H H H\mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x)计算投影哈希 P r o j H a s h ( h p , p p , x , w ) \mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w) ProjHash(hp,pp,x,w)根据语言 x x x, p p \mathsf{pp} pp与派生密钥 h p hp hp和一个证据 w w w计算出投影哈希值 p H pH pH\mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w) 可证明安全记号 名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令使用情景敌手 A \mathcal{A} A可证明安全中试图解决攻破方案的假想攻击者\mathcal{A} A \mathcal{A} A 尝试攻破加密算法的不可区分性挑战者 C \mathcal{C} C可证明安全中试图解决困难问题的挑战者\mathcal{C} C \mathcal{C} C 尝试解决大整数分解问题Oracle O \mathcal{O} O经抽象后的证明过程中可被查询的预言机\mathcal{O}算法的加解密部分被抽象为了 O \mathcal{O} O供 A \mathcal{A} A或 C \mathcal{C} C提交明密文查询标志 b a d \mathsf{bad} bad用来指示证明过程中某些事件的发生\mathsf{bad}当加密得到的密文产生了碰撞时, 是一个 b a d \mathsf{bad} bad事件证明游戏 G a m e \mathsf{Game} Game为安全性证明定义的挑战者与敌手的交互模型\mathsf{Game}定义 A \mathcal{A} A与 O \mathcal{O} O的若干次选择明文查询是一个 G a m e \mathsf{Game} Game 其他常用符号

在密码算法中还有一些常用的符号, 如对字符串数据的一些操作. 如有其他常用符号也欢迎大家补充.

名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令使用情景字符串长度 ∣ s ∣ |s| ∣s∣得到字符串 s s s的长度\left|s\right|密码算法输入全0字符串 0 n 0^{n} 0n n n n-bit 长的全0字符串0^{n}略全1字符串 1 n 1^{n} 1n n n n-bit 长的全1字符串1^{n}略字符串分块 ∣ ∣ s ∣ ∣ l ||s||_{l} ∣∣s∣∣l​将字符串 s s s分为 l l l块, 每块长度为 ⌈ ∣ s ∣ l ⌉ \lceil \frac{|s|}{l} \rceil ⌈l∣s∣​⌉ bit||s||_{l}对分组算法中的每一块进行加解密 量子密码算法符号

在量子密码算法中会涉及很多量子力学的操作与符号, 而这些符号其实都遵循着狄拉克记号法, 也就是所谓的Bra-ket notation. 不过在我们第一次遇到量子密码算法时, 看到这些符号依然会头大, 下面初步总结了一些常用记号方便检索.

注意, 量子密码算法都是在一个或若干个希尔伯特空间 ( H \mathcal{H} H) 中的, 此时算法的状态会被抽象为一个 H \mathcal{H} H中的状态矢量 ψ \psi ψ, 因此这部分的操作与符号有些和线性代数也是通用的.

名称符号含义 LaTeX \LaTeX LATE​X命令右矢 ∣ ψ ⟩ |\psi \rangle ∣ψ⟩可理解为线性空间中的某个向量| \psi \rangle左矢 ⟨ ψ ∣ \langle \psi | ⟨ψ∣某个右矢对应的共轭矢量\langle \psi |矢量间的内积 ⟨ a ∣ b ⟩ \langle a | b \rangle ⟨a∣b⟩两矢量间进行内积运算\langle a | b \rangle矢量间的外积 ∣ a ⟩ ⟨ b ∣ |a\rangle \langle b | ∣a⟩⟨b∣两矢量间进行外积运算|a\rangle \langle b |张量积 ⊗ \otimes ⊗希尔伯特空间的张量积, 如 H 1 ⊗ H 2 \mathcal{H_{1}}\otimes \mathcal{H_{2}} H1​⊗H2​形成一个组合系统\otimes共轭转置 U † U^{\dag} U†矩阵的共轭转置, 被用来描述 H \mathcal{H} H上的幺正变换U^{\dag}概率坍缩 ∣ ⟨ a ∣ ψ ⟩ ∣ 2 |\langle a | \psi \rangle|^{2} ∣⟨a∣ψ⟩∣2经过某一量子系统变换后, 从叠加态 ψ \psi ψ观测到状态 a a a的概率|\langle a | \psi \rangle|^{2}状态叠加 ∑ ∣ a i ⟩ \sum |a_{i}\rangle ∑∣ai​⟩将若干个状态 ∣ a i ⟩ |a_{i}\rangle ∣ai​⟩进行叠加得到叠加态\sum |a_{i}\rangle量子Oracle变换 O ∣ x ⟩ \mathbf{O}|x\rangle O∣x⟩在量子Oracle中对矢量 ∣ x ⟩ |x\rangle ∣x⟩进行变换得到 ∣ x + O ( x ) ⟩ |x+O(x)\rangle ∣x+O(x)⟩\mathbf{O}|x\rangle

由于我对量子力学的相关概念也不是非常熟悉, 上述记号如有错误欢迎大家指出, 也欢迎大家补充其他常见的量子密码方案记号.

LaTeX宏包 cryptocode 的使用

cryptocode是一个专门为了密码学研究者提供的 LaTeX \LaTeX LATE​X宏包, 而且这一宏包已经默认加入了texlive2022中, 使用时无需额外安装, 只需要\usepackage[your_options]{cryptocode}就能引入. 而且这个宏包的文档非常全面, 基本可以做到即查即用. 这里就拾人牙慧, 简单介绍几个最常用的命令.

常用符号

上文提到的很多运算符号, 其实已经都在cryptocode中封装好了, 尤其是一些呈现方式简单, 但 LaTeX \LaTeX LATE​X命令复杂的运算, 可以用cryptocode提供的更容易记忆和使用的短命令.

名称cryptocode命令等价 LaTeX \LaTeX LATE​X命令随机采样\sample\leftarrow标志\bad\mathsf{bad}0-1集合\bin\left\{0, 1\right\}概率\prob\mathsf{Pr}敌手优势\advantage\mathsf{Adv}密钥生成\kgen\mathsf{KGen}

上述这些符号只是cryptocode封装的很小一部分, 官方说明文档中会有更多描述.

算法

在密码学论文中, 除了那些常见符号外, 还会需要用 LaTeX \LaTeX LATE​X的algorithm环境呈现算法方案. 而在cryptocode中则可以直接用procedureblock, 效果如下图所示.

在这里插入图片描述

而对应的 LaTeX \LaTeX LATE​X代码也更为简洁, 无需像原来algorithm包那样写过多不必要的关键字.

\procedureblock {$\indcpa_\enc^\adv(\secpar)$}{ b \sample \ bin \\ (\pk, \sk) \sample \kgen(\secparam) \\ (m_0, m_1) \sample \adv(\secparam ,\pk, c)\\ c \sample \enc(\pk ,m_b)\\ b' \sample \adv(\secparam, \pk, c)\\ \pcreturn b = b’ } Game-based 安全证明

一篇理论密码方案论文的核心就是它的安全性证明了, 而在写一些game-based proof 时, 我们常常需要借助 b a d \mathsf{bad} bad 等符号标注出一个game里有利于敌手的那些事件. 要表达这样一件事, 一般需借助table环境以及一些文本样式命令. 然而, cryptocode也提供了这方面的封装, 如下图所示.

在这里插入图片描述

此外, 除了最基本的这种game-based proof外, 它还提供了game hopping, reduction等的命令封装, 这能极大地减少密码学研究者在撰写论文时的麻烦.

密码协议

在密码学中还有很多协议（Protocol）相关的工作，而对于我个人而言，通过drawio等工具画协议图还是有些繁琐了，而且如果数学公式较多的话在校对和排版上都存在着不少缺陷; 而原生tikz的作图效果很漂亮，但学习和使用成本太高。

而在cryptocode中，可以同样使用procedureblock命令与缩进指令 (tabbing) \>方便地通呈现一个密码协议，如下图所示。

在这里插入图片描述

总结

本文总结了传统密码学与量子密码方案中的常见记号与对应的 LaTeX \LaTeX LATE​X代码, 以缓解记忆密码学论文中繁琐符号含义所带来的烦躁心情🤡. 本文内容也将会动态更新, 在后续的学习过程中会不断添加新遇到的各类记号, 也欢迎大家分享和指正. 文章所在的专栏 包括了其他密码学相关的文章, 欢迎阅读并给出意见! 最后以一句歌词作为结束.

“你让任务如期完成并划下记号, 现在或悠悠闲闲带爱子散步” ——李克勤《再见穿梭机》


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