最短路径Dijkstra算法的Matlab代码实现

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为了搞清楚最短路径的算法过程，数乐君花时间给同学们整理了编写代码实现dijkstra算法寻找路径

% 文件名：dijkstra.m

% 功能：利用dijkstra算法计算两点间的最短路径

% dist：起点与终点之间的最短距离值

% path：最短路径索引

% Distance：最短路径下的距离值

% A：邻接矩阵

% strat：起点编号

% dest：终点编号

function [dist,path,Distance] = dijkstra(A,start,dest)

% 测试数据 A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];

% 测试数据 start = 1;

% 测试数据 dest = 4;

% 计算程序运行时间

tic %开始计时

% 初始化操作

p = size(A,1); %计算顶点数目

S(1) = dest; %初始化集合S，已加入到路径中的顶点编号

U = 1:p; %初始化集合U，未加入到路径中的顶点编号

U(dest) = []; %删除终点编号

Distance = zeros(2,p); %初始化所有顶点到终点dest的距离

Distance(1,:) = 1:p; %重赋值第一行为各顶点编号

Distance(2,1:p) = A(dest,1:p); %重赋值第二行为邻接矩阵中各顶点到终点的距离

new_Distance = Distance;

D = Distance; %初始化U中所有顶点到终点dest的距离

D(:,dest) = []; %删除U中终点编号到终点编号的距离

path = zeros(2,p); %初始化路径

path(1,:) = 1:p; %重赋值第一行为各顶点编号

path(2,Distance(2,:)~=inf) = dest; %距离值不为无穷大时，将两顶点相连

% 寻找最短路径

while ~isempty(U) %判断U中元素是否为空

index = find(D(2,:)==min(D(2,:)),1); %剩余顶点中距离最小值的索引

k = D(1,index); %发现剩余顶点中距离终点最近的顶点编号

%更新顶点

S = [S,k]; %将顶点k添加到S中

U(U==k) = []; %从U中删除顶点k

%计算距离

new_Distance(2,:) = A(k,1:p)+Distance(2,k); %计算先通过结点k，再从k到达终点的所有点距离值

D = min(Distance,new_Distance); %与原来的距离值比较，取最小值

%更新路径

path(2,D(2,:)~=Distance(2,:)) = k; %出现新的最小值，更改连接关系，连接到结点k上

%更新距离

Distance = D; %更新距离表为所有点到终点的最小值

D(:,S) = []; %删除已加入到S中的顶点

end

dist = Distance(2,start); %取出指定起点到终点的距离值

toc %计时结束

% 输出结果

fprintf('找到的最短路径为：');

while start ~= dest %到达终点时结束

fprintf('%d-->',start); %打印当前点编号

next = path(2,start); %与当前点相连的下一顶点

start = next; %更新当前点

end

fprintf('%d\n',dest);

fprintf('最短路径对应的距离为：%d\n',dist);

end

此函数共有3个输入参数，3个输出参数

输入参数说明

A：邻接矩阵，存储各顶点之间的距离值，是一个大小为顶点个数的方阵，对角线元素为0strat：起点编号dest：终点编号

输出参数说明

dist：指定起点与终点之间的最短距离值path：最短路径索引，一共两行，第一行的值依次为各顶点编号，第二行的值为与第一行顶点相连的顶点编号Distence：最短路径下的距离值，一共两行，第一行的值依次为各顶点编号，第二行的值为对应顶点到终点的最小距离值

算法有效性的测试如下：

根据上图，想计算A点到D点的最短路径和距离，经过理论分析，其最短路径应为A-->F-->E-->D，最短距离为16+2+4=22下面输入代码进行验证输入代码

A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];

start = 1;

dest = 4;

[dist,path,Distance] = dijkstra(A,start,dest)

时间已过 0.005424 秒。找到的最短路径为：1-->6-->5-->4最短路径对应的距离为：22

dist =

22

path =

1 2 3 4 5 6 7

6 3 4 4 4 5 5

Distance =

1 2 3 4 5 6 7

22 13 3 0 4 6 12

输入其他任意两个点，换一个距离矩阵，依然能正确输出最短路径和相应的距离值，算法的有效性得到验证

输入以下代码可生成最终的最短路径图，输出结果与起点值无关，任意点到D点的最短路径均可从图中找到

A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];

start = 1;

dest = 4;

[~,path,Distance] = dijkstra(A,start,dest)

path(:,dest) = [];

Distance(:,dest) = [];

s = path(1,:);

t = path(2,:);

weights = Distance(2,:);

names = {'A' 'B' 'C' 'D' 'E' 'F' 'G'};

g = digraph(s,t,weights,names);

plot(g,'EdgeLabel',g.Edges.Weight)

可以看到，图中所有点均向D点聚集，且显示了每一个点到D点的最短距离

下面，使用matlab图论工具箱的函数寻找最短路径，再进行一个对比验证

图论工具箱中求最短路径的函数有以下3个，本文使用shortestpath，matlab命令窗口中输入doc shortestpath即可查看用法

shortestpath 两个单一节点之间的最短路径

shortestpathtree 从节点的最短路径树

distances 所有节点对组的最短路径距离

% 文件名：shortpath.m

% 功能：利用matlab自带的shortestpath函数计算两点间的最短路径

% dist：起点与终点之间的最短距离值

% path：最短路径

function [dist,path] = shortpath(A,start,dest)

%使用matlab自带的函数计算最短路径

tic

A(A==inf) = 0; %将无穷大值变为0

[t,s,weights] = find(A); %邻接矩阵中非零值的列、行号索引,及对应值

G = digraph(s,t,weights); %生成一幅带权值的有向图

[path,dist] = shortestpath(G,start,dest); %计算最短路径

toc

%展示结果

plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight)

fprintf('找到的最短路径为：');

fprintf('%d ',path);

fprintf('\n');

fprintf('最短路径对应的距离为：%d\n',dist);

end

命令窗口输入以下代码验证结果

A =[0,12,inf,inf,inf,16,14;12,0,10,inf,inf,7,inf;inf,10,0,3,5,6,inf;inf,inf,3,0,4,inf,inf;inf,inf,5,4,0,2,8;16,7,6,inf,2,0,9;14,inf,inf,inf,8,9,0];

start = 1;

dest = 4;

[dist,path] = shortpath(A,start,dest)

时间已过 0.002112 秒。

找到的最短路径为：1 6 5 4

最短路径对应的距离为：22

dist =

22

path =

1 6 5 4

两者结果一致，再次验证算法的有效性，而且自己写的Dijkstra算法的代码还能够一次输出所有点到终点的距离及路径表

仅一次测试以及少量的数据规模N不足以说明算法的解决效率，为了对两个算法性能进行一个比较，特地写了一个测试程序，输入的数据规模N从10到2000变化，并注释dijkstra.m、shortpath.m两个文件中的计时和输出结果部分的代码，程序如下

% 文件名：compar1.m

% 功能：比较自己实现的dijkstra算法与matlab图论工具箱函数的效率性能

% 说明：请先将dijkstra.m、shortpath.m文件与本文件放在同一目录下

clear

close

clc

iter = 200; %测试次数

t1 = zeros(1,iter); %算法1时间

t2 = zeros(1,iter); %算法2时间

for i = 1:iter

%% 第一步：生成测试数据，距离矩阵A,起点start，终点dest

clearvars -except iter i t1 t2 %清空除iter,i,t1,t2外的所有变量

N = i*10; %输入数据规模

ub = 15; %输入数据距离上限

A = unifrnd (0, ub, N, N); %生成一个服从均匀分布的矩阵，数值范围[0,ub]，矩阵大小n×n

A = A - A';

A(A /阅读下一篇/ 返回网易首页 下载网易新闻客户端