加入交乘项后符号变了!?

作者：连玉君

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在前面的几篇推文中，我们对交乘项的基本设定、图示、边际效应分析等内容进行了较为细致的分析。最近适逢很多学生写毕业论文，有关交乘项的问题又涌上心头。其中，最突出的问题便是：为何加入交乘项后主变量变得不显著了，甚至符号都变掉了？

简单的解释是：此一时，彼一时！

因为，加入交乘项前后，主变量的系数含义发生了实质性的变化，二者不具可比性。本文的目的在于澄清这种差异，并介绍一种让主变量系数在加入交乘项前后不会发生大幅变化 (具有可比性) 的方法。

对于模型

y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ϵ 1 ( 1 ) y = \beta_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + \epsilon_1 \qquad (1) y=β0​+β1​x1​+β2​x2​+ϵ1​(1)

系数 β 1 = ∂ y / ∂ x 1 ∣ x 2 = x ˉ 2 \beta_1=\partial{y}/\partial{x_1} | x_2=\bar{x}_2 β1​=∂y/∂x1​∣x2​=xˉ2​，也就是当 x 2 x_2 x2​ 取样本均值时， x 1 x_1 x1​ 变动一个单位对 y y y 的影响。

当我们加入交乘项 x 1 x 2 x_1 x_2 x1​x2​ 后， x 1 x_1 x1​ 的系数含义发生了很大的变化。

y = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + θ 3 x 1 x 2 + ϵ 2 ( 2 ) y = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \theta_3 x_1 x_2 + \epsilon_2 \qquad (2) y=θ0​+θ1​x1​+θ2​x2​+θ3​x1​x2​+ϵ2​(2)

先看 x 1 x_1 x1​ 对 y y y 的边际影响： ∂ y / ∂ x 1 = θ 1 + θ 3 x 2 \partial{y}/\partial{x_1}=\theta_1+ \theta_3 x_2 ∂y/∂x1​=θ1​+θ3​x