C语言实现雅克比迭代法求根

设方程组 A x = b Ax = b Ax=b的系数矩阵 A A A非奇异 ，且 a i i ≠ 0 {a_{ii}} \ne 0 aii​​=0将 A A A分裂为： A = D + L + U A = D + L + U A=D+L+U D = d i a g ( a 11 , a 22 , ⋯ a n n ) D = diag({a_{11}},{a_{22}}, \cdots {a_{nn}}) D=diag(a11​,a22​,⋯ann​), L L L和 U U U分别是将 A A A对角元素置为 0 0 0的下三角和上三角矩阵，进行一系列转化形成迭代格式可求解方程组。

将方程组 ∑ i = 1 i = n a i j x i = b i , i = 1 , 2... , n \sum_{i=1}^{i=n}{{a_{ij}}{x_i}} = {b_i}, {i = 1,2...,n} i=1∑i=n​aij​xi​=bi​,i=1,2...,n 乘以 1 a i i \frac{1}{{{a_{ii}}}} aii​1​，得到等价方程组 x i = 1 a i i ( b i − ∑ i = 1 i = n b i − a i j x i ) {x_i} = \frac{1}{{{a_{ii}}}}({b_i} - \sum_{i=1}^{i=n}{b_i}- {{a_{ij}}{x_i}} ) xi​=aii​1​(bi​−i=1∑i=n​bi​−aij​xi​) 简记为 x = B x + f x=Bx+f x=Bx+f. 其中， B = I − D − 1 = − D − 1 ( L + U ) , f = D − 1 b {B = I - {D^{-1}}}=-D^{-1}(L+U),f=D^{-1}b B=I−D−1=−D−1(L+U),f=D−1b 我们称 φ ( x ) = B x + f \varphi (x) = Bx + f φ(x)=Bx+f为迭代函数，任取初始向量 x = x ( 0 ) x = {x^{(0)}} x=x(0)，按照 x ( k + 1 ) = B x ( k ) + f {x^{(k + 1)}} = B{x^{(k)}} + f x(k+1)=Bx(k)+f形成的迭代格式，称这种迭代格式为雅克比迭代法。