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余弦定理
余弦定理对解三角形是非常有用的: 这定理适用于任何三角形: a、b 和 c 是三角形的边。 C 边 c 的对角 我们举个例来看看: 例子:"c" 的长度是多少?已知: C = 37º、a = 8 和 b = 11 余弦定理说: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) 代入已知值: c2 = 82 + 112 − 2 × 8 × 11 × cos(37º) 计算: c2 = 64 + 121 − 176 × 0.798… 计算: c2 = 44.44... 开平方: c = √44.44 = 6.67 保留两位小数答案:c = 6.67 怎样记怎样去记这公式呢? 公式其实是在 勾股定理 上多加一点,使其适用于所有的三角形: 勾股定理: a2 + b2 = c2 (只适用于直角三角形) 余弦定理: a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2 (适用于所有三角形)这样记: 想英语字母 "abc":a2 + b2 = c2, 再来一个 "abc": 2ab cos(C), 放在一起:a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2 什么时候用在以下的情形,我们可以用余弦定理: 已知三角形的两边和两边中间的夹角,求第三边(像上面的例子) 已知三角形的三边,求其角度(如以下的例子) 例子:角 "C" 是多大?长度为 "8" 的边的对角是 C,所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。 把已知值代入余弦定理:: 开始: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) 代入 a、b 和 c: 82 = 92 + 52 − 2 × 9 × 5 × cos(C) Calculate: 64 = 81 + 25 − 90 × cos(C) 重排及解: 每边减 25: 39 = 81 − 90 × cos(C) 每边减 81: −42 = −90 × cos(C) 两边对调: −90 × cos(C) = −42 除以 −90: cos(C) = 42/90 取逆余弦: C = cos-1(42/90) 用计算器: C = 62.2° (保留一位小数) 其他形式 求角度的简易形式上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做,但其实用 "直接" 公式会比较简单(公式只不过是重排这公式: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) )。公式可以有三个形式: cos(C) = a2 + b2 − c2 2ab cos(A) = b2 + c2 − a2 2bc cos(B) = c2 + a2 − b2 2ca 例子:用余弦定理(角度形式)来求角 "C"
已知三边: a = 8, b = 6 和 c = 7。用余弦定理(角度形式)来求角 C: cos C = (a2 + b2 − c2)/2ab = (82 + 62 − 72)/2×8×6 = (64 + 36 − 49)/96 = 51/96 = 0.53125 C = cos-1(0.53125) = 57.9° 保留一位小数a、b 和 c 的形式 你也可以重写 c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) 公式为 "a2=" and "b2=" 的形式。 以下是这三个形式: 但最容易是记着 "c2=" 的形式,然后在应用时用不同的字母! 如下: 例子:求长度 "z"字母不同!没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c 开始: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z) 代入已知值: z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º) 计算: z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...) z2 = 130.61 + 80.17…… z2 = 210.78…… z = √210.78…… = 14.5 保留一位小数。
答案:z = 14.5 留意到 cos(131º) 是负数吗?这把最后的正负号变成 +(正)号了。钝角的余弦一定是负数(见 单位圆)。 余弦定理 解三角形 几何索引 代数索引 |
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