如何记住所有的三角函数公式？

　　三角函数的公式记忆，是让很多中学生头疼的事情。虽然出身于奥数班，我也曾经以为需要先把三角函数公式记熟了再做题。但是一次栽得很惨的考试让我意识到，用奥数题来强化三角公式才是最关键的。

　　我在这里将分享一系列的记忆法则和有趣的奥数题，里面有着很强的技巧性，如果你学会了这些技巧，三角函数的基础也会非常熟练。

　　三角函数最基本的公式还是勾股定理：

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\\　　对于诱导公式，我只记住了很少的几个，剩余的在用到的时候完全可以快速推导。最简单的是关于2π的整数倍的公式，记住它不变即可：

\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta\\ \cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta\\　　对于组成周角的公式，只需要根据正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数即可导出：

\sin(2\pi-\theta)=\sin(-\theta)=-\sin\theta\\ \cos(2\pi-\theta)=\cos(-\theta)=\cos\theta\\　　关于π的奇数倍的公式，只需要记住转了半圈，正弦和余弦都变为负数：\sin(\theta\pm\pi)=-\sin\theta\\ \cos(\theta\pm\pi)=-\cos\theta\\　　对于互补的公式，只需要记住正弦的补角不变，余弦的补角相反：

\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\\ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\\　　关于π/2的奇数倍的公式，只需要记住正余弦互换的同时，正弦符号不变，余弦符号变负：\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta\\ \cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta\\　　同时记住求导公式与此完全相同：(\sin{x})'=\cos{x}=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\ (\cos{x})'=-\sin{x}=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\　　关于互余的公式，只需要记住正余弦互换即可：\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta\\ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta\\　　只要记住这些公式，其它诱导公式都可以快速准确导出。其中正切可以化为正弦与余弦的商，所以相关的符号根据正弦与余弦的符号变化很容易得到。

　　然后是与和差相关的公式，最基本的是两个两角和公式：\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\　　这里需要记住的规律是：正弦交叉相乘作和，余弦同类相乘作差。对于两角差公式，记住正弦改为差，余弦改为和：\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\　　这也体现出在[0, π/2]区间内，正弦函数单调递增，余弦函数单调递减的性质：两角相减，正弦变小，所以相减，余弦变大，所以相加。

　　两角和公式可以用来计算三角函数线性组合的极佳，例如计算asinx + bcosx的值，可以通过构造角度化简：

a\cos{x}+b\sin{x}=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x})\\ =\sqrt{a^2+b^2}(\cos\theta\cos{x}+\sin\theta\sin{x})=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\theta)\\

　　这里把两个系数转化为平方和为1的约束，即可代入角度来把三角函数的线性组合合并为一个三角函数。

　　利用弦的两角和公式再导出正切的两角和公式：\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\　　记忆法则为：分子直接相加，分母为1减去乘积。

　　利用弦的两角和公式，可以导出倍角公式：\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\\ \cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\\　　利用倍角公式再导出降幂公式：

\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\\ \sin^2\theta =\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\\　　最复杂的是积化和差公式与和差化积公式，其中积化和差公式由两角和差公式加减得到：\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))\\ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta))\\ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))\\ \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))\\　　记忆规则为：异类相乘由正弦加减得到，同类相乘由余弦加减得到，两项并为一项要除以2，余弦相减只有小的减大的才能得到正的。

　　和差化积公式则由积化和差公式的变量代换θ = α + β, φ = α - β，直接导出：\sin\theta+\sin\varphi=2\sin\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\frac{\theta-\varphi}{2}\\ \sin\theta-\sin\varphi=2\cos\frac{\theta+\varphi}{2}\sin\frac{\theta-\varphi}{2}\\ \cos\theta+\cos\varphi=2\cos\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\frac{\theta-\varphi}{2}\\ \cos\theta-\cos\varphi=2\sin\frac{\theta+\varphi}{2}\sin\frac{\varphi-\theta}{2}\\　　记忆规则与积化和差基本相同，只是要注意到两项之和相当于积的两倍，构造积的角度是两角和差的一半。

　　关于三倍角公式，也有记忆口诀，它的形式如下：\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta\\ \cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\　　立方简称“立”，正弦的三倍角公式简读为“三负四立”，谐音为“山无司令”；余弦的三倍角公式简读为“四立负三”，谐音为“司令无山”。

　　有趣的是，三角函数还有平方差公式：

\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\\ \cos^2\beta-\cos^2\alpha=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\\　　只需要记住正弦与多项式相近的平方差公式，即很容易导出余弦的平方差公式。

　　三角函数的特殊角通常是指它的正弦或者余弦能用至多只有一层的二次根式表达的角，其中15°，30°，45°，60°和75°的角的正弦，余弦和正切都满足要求，36°和72°的余弦满足要求，18°和54°的正弦满足要求，这些值列举如下： \sin{15^\circ}=\cos{75^\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tan{15^\circ}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ \sin{18^\circ}=\cos{72^\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \sin{30^\circ}=\cos{60^\circ}=\frac{1}{2}\\ \tan{30^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \sin{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \tan{45^\circ}=1\\ \sin{54^\circ}=\cos{36^\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\ \sin{60^\circ}=\cos{30^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan{60^\circ}=\sqrt{3}\\ \sin{75^\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan{75^\circ}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\　　在不使用几何作图的前提下，这些公式的推导也很巧妙，首先利用2倍角公式推导45°角： \cos^2{45^\circ}=\frac{1+\cos(2\times45^\circ)}{2}=\frac{1+\cos{90^\circ}}{2}=\frac{1}{2}\\ \sin^2{45^\circ}=\frac{1-\cos(2\times45^\circ)}{2}=\frac{1-\cos{90^\circ}}{2}=\frac{1}{2}\\　　再利用它们都是正的，导出：\sin{45^\circ}=\cos{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \tan{45^\circ}=\frac{\sin{45^\circ}}{\cos{45^\circ}}=\frac{1}{\sqrt{2}}/\frac{1}{\sqrt{2}}=1\\　　然后推导30°角，利用诱导公式和二倍角公式： \cos{30^\circ}=\sin{60^\circ}=2\sin{30^\circ}\cos{30^\circ}\\　　利用cos30° ≠ 0导出：2\sin{30^\circ}=1\\　　因此有：\sin{30^\circ}=\frac{1}{2}\\　　然后利用诱导公式和勾股定理，有：\cos{60^\circ}=\sin{30^\circ}=\frac{1}{2}\\ \sin{60^\circ}=\cos{30^\circ}=\sqrt{1-\sin^2{30^\circ}}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan{30^\circ}=\frac{\sin{30^\circ}}{\cos{30^\circ}}=\frac{1}{2}/\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \tan{60^\circ}=\frac{\sin{60^\circ}}{\cos{60^\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}/\frac{1}{2}=\sqrt{3}\\　　有了这些值，即可利用两角和差推导15°和75°角的公式： \cos{75^\circ}=\sin{15^\circ}\\ =\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}-\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \sin{75^\circ}=\cos{15^\circ}\\ =\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}\\=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan{15^\circ}=\frac{\sin{15^\circ}}{\cos{15^\circ}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}/\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ \tan{75^\circ}=\frac{\sin{75^\circ}}{\cos{75^\circ}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}/\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\ 18°，36°，54°和72°的求解过程的技巧性非常强，会在后面的解链问题中用相关的结论来导出。

　　三角函数有很多技巧性很强的解链问题，需要灵活使用积化和差与和差化积公式来求解，这里枚举几个经典问题。

　　首先是连乘解链问题，化简下式：\cos\theta\cos(2\theta)\cos(2^2\theta)\cdots\cos(2^n\theta)\\　　这个问题的求解方式是分子和分母同乘以sinθ，然后对分子反复使用两倍角公式：\cos\theta\cos(2\theta)\cos(2^2\theta)\cdots\cos(2^n\theta)\\ =\frac{\sin\theta\cos\theta\cos(2\theta)\cos(2^2\theta)\cdots\cos(2^n\theta)}{\sin\theta}\\ =\frac{\sin(2\theta)\cos(2\theta)\cos(2^2\theta)\cos(2^3\theta)\cdots\cos(2^n\theta)}{2\sin\theta}\\ =\frac{\sin(2^2\theta)\cos(2^2\theta)\cos(2^3\theta)\cdots\cos(2^n\theta)}{2^2\sin\theta}\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ =\frac{\sin(2^n\theta)\cos(2^n\theta)}{2^n\sin\theta}\\ =\frac{\sin(2^{n+1}\theta)}{2^{n+1}\sin\theta}\\　　然后是连加解链问题，设α, α + δ, α + 2δ, …, α + (n - 1)δ是一个n项实数等差序列，计算下面的值：　\cos\alpha+\cos(\alpha+\delta)+\cos(\alpha+2\delta)+\cdots+\cos(\alpha+(n-1)\delta)\\ \sin\alpha+\sin(\alpha+\delta)+\sin(\alpha+2\delta)+\cdots+\sin(\alpha+(n-1)\delta)\\　　计算方法是分子分母同乘以\sin\frac{\delta}{2}，再使用积化和差公式： \cos\alpha+\cos(\alpha+\delta)+\cos(\alpha+2\delta)+\cdots+\cos(\alpha+(n-1)\delta)\\ =\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}2\cos(\alpha+k\delta)\sin\frac{\delta}{2}}{2\sin\frac{\delta}{2}} \\=\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\sin\left(\alpha+\left(k+\frac{1}{2}\right)\delta\right)-\sin\left(\alpha+\left(k-\frac{1}{2}\right)\delta\right)\right)}{2\sin\frac{\delta}{2}}\\ =\frac{\sin\left(\alpha+\left(n-\frac{1}{2}\right)\delta\right)-\sin\left(\alpha-\frac{1}{2}\delta\right)}{2\sin\frac{\delta}{2}}\\ =\frac{2\cos\left(\alpha+\frac{n-1}{2}\delta\right)\sin\frac{n}{2}\delta}{2\sin\frac{\delta}{2}} =\frac{\cos\left(\alpha+\frac{n-1}{2}\delta\right)\sin\frac{n}{2}\delta}{\sin\frac{\delta}{2}}\\ \sin\alpha+\cos(\alpha+\delta)+\sin(\alpha+2\delta)+\cdots+\sin(\alpha+(n-1)\delta)\\ =\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}2\sin(\alpha+k\delta)\sin\frac{\delta}{2}}{2\sin\frac{\delta}{2}} \\=-\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\cos\left(\alpha+\left(k+\frac{1}{2}\right)\delta\right)-\cos\left(\alpha+\left(k-\frac{1}{2}\right)\delta\right)\right)}{2\sin\frac{\delta}{2}}\\ =-\frac{\cos\left(\alpha+\left(n-\frac{1}{2}\right)\delta\right)-\cos\left(\alpha-\frac{1}{2}\delta\right)}{2\sin\frac{\delta}{2}}\\ =\frac{2\sin\left(\alpha+\frac{n-1}{2}\delta\right)\sin\frac{n}{2}\delta}{2\sin\frac{\delta}{2}} =\frac{\sin\left(\alpha+\frac{n-1}{2}\delta\right)\sin\frac{n}{2}\delta}{\sin\frac{\delta}{2}}\\　　这个结论可以记为：等差序列的余弦值之和等于首项与末项的平均值的正弦值乘以公差一半乘以项数的余弦值，再除以公差一半的正弦值；正弦值之和等于首项与末项的平均值的正弦值乘以公差一半乘以项数的正弦值，再除以公差一半的正弦值。

　　利用上面的解链问题的结论，可以导出特殊角的三角函数值：首先利用乘法的解链结果，有：\cos\frac{2\pi}{5}\cos\frac{4\pi}{5}=\frac{\sin\left(2^2\frac{2\pi}{5}\right)}{2^2\sin\frac{2\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{5}}{4\sin\frac{2\pi}{5}}=-\frac{\sin\frac{2\pi}{5}}{4\sin\frac{2\pi}{5}}=-\frac{1}{4}\\再利用等差序列求和的结果，有：\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\frac{\cos\left(\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{5}+\frac{4\pi}{5}\right)\sin\left(2\frac{\pi}{5}\right)\right)}{\sin\frac{\pi}{5}}\\ =\frac{\cos\frac{3\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}}{\sin\frac{4\pi}{5}}=-\frac{\cos\frac{2\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}=-\frac{1}{2}\\因此导出\cos\frac{2\pi}{5}与\cos\frac{4\pi}{5}的和是下列方程的两个根：x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0\\　　利用一元二次方程求根公式，并根据：\cos\frac{4\pi}{5}莫莱定理

　　证明思路是用余弦定理来计算DE，EF和FD的值。这里需要用到前一部分导出的乘积链的性质当n = 3的情况：4\sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin3\theta\\下面利用这些性质计算首先利用正弦定理计算AF的长：AF=\frac{AB\sin\angle{ABF}}{\sin(\angle{ABF}+\angle{BAF})}=\frac{2R\sin{C}\sin\frac{B}{3}}{\sin\left(\frac{A}{3}+\frac{B}{3}\right)} =\frac{2R\sin\left(3\frac{C}{3}\right)\sin\frac{B}{3}}{\sin\frac{\pi-C}{3}}\\=\frac{8R\sin\frac{C}{3}\sin\left(\frac{C}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{C}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)\sin\frac{B}{3}}{\sin\left(\frac{C}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)} =8R\sin\frac{B}{3}\sin\frac{C}{3}\sin\left(\frac{C}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\\同理导出AE = 8R\sin\frac{B}{3}\sin\frac{C}{3}\sin\left(\frac{B}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\\注意到：\frac{A}{3}+\left(\frac{B}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+\left(\frac{C}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{A+B+C}{3}+\frac{2\pi}{3}=\pi\\因而有： \sin^2\frac{A}{3}=\sin^2\left(\frac{B}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+\sin^2\left(\frac{C}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\\ -2\sin\left(\frac{B}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{C}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\cos\frac{A}{3}\\　　然后在ΔAEF中使用余弦定理， EF^2=AE^2+AF^2-2AE\cdot{}AF\cos\angle{EAF}\\ =\left(8R\sin\frac{B}{3}\sin\frac{C}{3}\right)^2\cdot\\ \left(\sin^2\left(\frac{B}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+\sin^2\left(\frac{C}{3}+\frac{\pi}{3}\right)-2\sin\left(\frac{B}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{C}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\cos\frac{A}{3}\right)\\ =\left(8R\sin\frac{A}{3}\sin\frac{B}{3}\sin\frac{C}{3}\right)^2\\　　因此有： EF=8R\sin\frac{A}{3}\sin\frac{B}{3}\sin\frac{C}{3}\\　　同理可证：DE=FD=8R\sin\frac{A}{3}\sin\frac{B}{3}\sin\frac{C}{3}\\　　因此导出结论。

　　三角函数有着很多奇妙的性质，里面有着很强的规律性。诱导公式只需要记住几个主要的，即可灵活推导出所有的情况。

　　对于三角函数的和差性质，两角和差公式是最基本的，用它可以导出其它的公式，并可以用来求解三角函数相关的极值问题。

　　特殊角的三角函数可以用二次根式来表达，建议记住根式嵌套不超过1次的情况，其中几个特殊角的推导需要用到三角函数链的化简结果。

　　三角函数链的化简有的可以直接使用三角公式，有的则需要基于复数来推导，其中欧拉公式是三角函数与复数之间互相转化的关键。

　　三角形的三个内角之间的关系可以基于三角形内角和化简，利用相关的公式可以证明内角的三等分角线构成的莫莱定理。

　　对三角的掌握直接反映了人的数学素养。基于三角函数的题目也有着很强的技巧性，只有做足够多的题，才能真正熟练掌握并运用三角函数公式。

　　希望这篇文章能引起读者对三角函数相关知识和题目的兴趣，帮助读者掌握更多的三角函数知识。