cosx绝对值的积分

∫ ∣ c o s   x ∣ d x \int|cos \space x| dx ∫∣cos x∣dx

一个朴素的想法是，对原函数进行分段讨论，正区间和负区间上有一个符号位的差异。这种方法虽不能说是错误的，但是让我们先进行一下分析。

首先，有原函数和可积，两个概念并不等价。但是，一个函数能求出原函数，其在某些区间上一定是可积的，这个时候不定积分的作用可以这样描述：

将无穷级数的概念从正整数集合拓展到实数集合，这样，一个函数在某段区间上可积的话，其原函数不妨看作是这个实数域上的无穷级数的和函数。这样，某一段实数区间上的积分，就可以看成是对于和函数取差分的结果了。

在上述讨论的意义下，取绝对值的处理方式只能算出一部分正确的答案，对于其余的情况，差分的结果显然是错误的。

于是另一个想法应运而生：我们能不能将这个不定积分表达成两部分的和，即，一部分来表达这个正区间内部的和函数，另一部分来表达两个区间之间的差值呢？答案是肯定的。

以刚才的题目为例：

我们将 c o s   x cos \space x cos x的区间划分为无数个 k π + π 2 , k π + 3 π 2 k\pi + \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{3\pi}{2} kπ+2π​,kπ+23π​形式的区间，这是 ∣ c o s   x ∣ |cos \space x| ∣cos x∣的周期分布。我们要做考虑两个事情：

(1) 每个区间内部的和函数如何表达？

(2) 任意两个区间之间的差分数值如何表示？

先考虑问题(1)。

很明显，每个区间内部的和函数可以简单的表达成 s i n   ( x − k π − π ) − s i n   ( − π 2 ) sin \space (x - k \pi - \pi) - sin \space(-\frac{\pi}{2}) sin (x−kπ−π)−sin (−2π​)。 s i n   ( ( k + 1 ) π + x ) sin\space((k + 1)\pi + x) sin ((k+1)π+x)形式的表达式我们稍后再进行推导。为方便后面的叙述，我们先把这个函数记成 S ( x ) S(x) S(x)。

再考虑问题(2)。

考虑三个区间的情况，见图。

我们假设一个区间内的积分值为 D ( x ) D(x) D(x)。

x 0 x_0 x0​到 x 1 x_1 x1​之间的积分值，应该被叙述为：

D ( I I ) + D ( I ) − S ( x 0 ) + S ( x 1 ) D(II) + D(I) - S(x_0) + S(x_1) D(II)+D(I)−S(x0​)+S(x1​)。

即，第二个区间内的积分值，加上第一个区间内 x 0 x_0 x0​右边的积分值，再加上第三个区间内 x 1 x_1 x1​左边的积分值。

不难对其进行一般化。这个时候，任意两点 x 0 = k 1 π + b 1 , x 1 = k 2 π + b 2 , b ∈ [ p i 2 , 3 π 2 , k ∈ Z ] x_0=k_1\pi+b_1, x_1 = k_2\pi+b_2, b \in [\frac{pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, k \in \Z] x0​=k1​π+b1​,x1​=k2​π+b2​,b∈[2pi​,23π​,k∈Z]之间的积分值可以被表达为：

S ( x 1 ) − S ( x 0 ) + ( k 1 − k 0 ) ∗ D ( x ) S(x_1) - S(x_0) + (k_1 - k_0) * D(x) S(x1​)−S(x0​)+(k1​−k0​)∗D(x).

很明显，它是 F ( x 1 ) − F ( x 0 ) F(x_1) - F(x_0) F(x1​)−F(x0​)的形式，符合我们对它的期望。

S ( x ) S(x) S(x)我们已经求出来过了，现在如果能有一种方法用来表达 k i ∗ D ( x ) k_i*D(x) ki​∗D(x)就好了。那我们就让它等于 k ∗ D ( x ) k * D(x) k∗D(x)吧。

现在原函数 ∫ ∣ c o s x ∣ d x = S ( x ) + k i ∗ D ( x ) \int |cosx|dx=S(x) + k_i * D(x) ∫∣cosx∣dx=S(x)+ki​∗D(x)已经推导出来了，对于这个题目来说就是 s i n   ( x − k π − π ) − s i n   ( − π 2 ) + k ∗ 2 sin \space (x - k \pi - \pi) - sin \space(-\frac{\pi}{2})+k*2 sin (x−kπ−π)−sin (−2π​)+k∗2。

下一个问题是，为什么三大计算上的答案写成了 s i n   ( ( k + 1 ) π + x ) sin\space((k + 1)\pi + x) sin ((k+1)π+x)呢？

我们所需要的只有奇区间，即形如 2 k π − π 2 , 2 k π + π 2 2k\pi-\frac{\pi}{2}, 2k\pi+\frac{\pi}{2} 2kπ−2π​,2kπ+2π​的区间。将 x = k π + b x=k\pi+b x=kπ+b带入，即 ( 2 k + 1 ) π + b (2k+1)\pi+b (2k+1)π+b，它亦是奇区间。

讨论就此结束了。我们可以从中总结出周期性函数、周期积分不为0且为固定值的函数的原函数的求法。从与一般的函数的答案表达式的对比中我们可以发现，不定积分的原函数表达式不妨扩展成 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C + C p e r i o d \int f(x) dx = F(x) + C + C_{period} ∫f(x)dx=F(x)+C+Cperiod​，即，周期性函数的不定积分的常数项由两部分组成，一个是常数 C C C，另一个是与周期有关的周期变量，它表征了欲求的两个区间之间经历的周期数对答案的贡献。这个周期变量，在非周期函数中，以及每个周期的积分值都为0的周期函数中，是一个数值为0的常量。