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反正弦、反余弦和反正切
简略答案:
在直角三角形中: sin (正弦 函数)以角度 θ 为输入来计算 对边斜边 的比
sin-1 (反正弦)函数以 对边斜边 的比为输入来计算角度 θ 例子 (长度准确到一个小数位): sin(35°) = 对边 / 斜边 = 2.8/4.9 = 0.57…… sin-1(对边 / 斜边) = sin-1(0.57……) = 35° 余弦和正切也是一样的理念。 细节:正弦、余弦和正切 都是基于直角三角形 它们是非常近似的函数…… 我们这里会用 正弦函数 为例来解释,然后再看 反正弦。 正弦函数角 θ 的 正弦 是: 角 θ 对面的边的长度 除以 斜边的长度就是: sin(θ) = 对边 / 斜边 例子:35°的正弦是多少?用这个三角形(长度准确到一个小数位): sin(35°) = 对边 / 斜边 = 2.8/4.9 = 0.57…… 正弦函数可以用来解这样的问题: 例子:用 正弦函数 来求 "d" 已知: 链与海底之间的角度是 39° 链的长度是 30 m.我们求的是 "d"(向下的距离)。 开始: sin 39° = 对边/斜边 sin 39° = d/30 换边: d/30 = sin 39° 用计算器来求 sin 39°: d/30 = 0.6293…… 每边乘以 30: d = 0.6293…… × 30 d = 18.88 (保留2个小数位)深度 "d" 是 18.88 m 反正弦但有时我们需要知道 角度。 这时候我们便要用到 "反正弦" 函数。 它告诉我们 " 什么角度 的正弦等于 对边/斜边?" 饭正弦的符号是 sin-1 例子:求角 "a" 已知: 向下的距离是 18.88 m。 链的长度是 30 m。我们求的是角 "a" 开始: sin a° = 对边/斜边 sin a° = 18.88/30 计算 18.88/30: sin a° = 0.6293…… 什么角的正弦等于 0.6293……? 用反正弦函数便知道。 反正弦: a° = sin-1(0.6293……) 用计算器来求 sin-1(0.6293……): a° = 39.0° (准确到一小数位) 角 "a" 是 39.0° 它们是相反的! 正弦函数 sin 以 角度 为输入来计算 "对边/斜边" 的 比 反正弦函数 sin-1 以 "对边/斜边" 的 比 为输入来计算 角度。 例子: 正弦函数: sin(30°) = 0.5 反正弦函数: sin-1(0.5) = 30° 计算器 在计算器上,你按以下其中一个键(视乎计算器的牌子): '2ndF sin' 或 'shift sin'。试试用 sin,然后用 sin-1 来看看 多于一个角度!反正弦只会给你一个角度……但可能有更多答案。 例子:这是两个角度,每个的 对边/斜边 = 0.5
其实有无穷多的角度,因为你可以无穷次数地加(或减) 360°: 记着这个,因为有时你可能真的需要其他的角度! 总结角 θ 的正弦是: sin(θ) = 对边 / 斜边 饭正弦是: sin-1 (对边 / 斜边) = θ 那么, "cos" 和 "tan"……呢? 概念是一样的,但用不同的边的比. 余弦角 θ 的余弦是: cos(θ) = 邻边 / 斜边 反余弦是: cos-1 (邻变 / 斜边) = θ 例子:求角 a°cos a° = 邻边 / 斜边 cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333…… a° = cos-1 (0.8333……) = 33.6° (保留一个小数位) 正切角 θ 的正切是: tan(θ) = 对边 / 邻边 反正切是: tan-1 (对边 / 邻边) = θ 例子:求角 x° tan x° = 对边 / 邻边 tan x° = 300/400 = 0.75 x° = tan-1 (0.75) = 36.9° (准确到小数点后一位) 其他写法 sin-1 也可以写成 asin 或 arcsin。 同样, cos-1 也可以写成 acos 或 arccos tan-1 也可以写成 atan 或 arctan。 例子: arcsin(y) 和 sin-1(y) 是一样的 atan(θ) 和 tan-1(θ) 是一样的 等等图 最后,我们来看看正弦、反正弦、余弦和反余弦的图: 正弦 反正弦 余弦 反余弦留意到图有什么特别吗? 它们有点相似,对不对? 但反正弦和反余弦的图不是像正弦和余弦的图那样"无穷延续"的……以余弦的图为例。 以下是 余弦 和 反余弦 的图(画在一起): 余弦和反余弦 它们是沿对角线的镜像 但为什么反余弦的上面和下面删除了(那些点不是函数的一部分)……? 因为当我们问:" cos-1(x) 是多少?",函数 只可以给我们一个答案 一个或无穷多的答案但我们说过其实有 无穷多的答案,正如图中的虚线显示的一样。 所以是有无穷多的答案的…… ……但若你把 0.5 打进计算器,然后按 cos-1,它不能送回无穷多的答案…… 所以我们订立了这个规矩:函数只能有一个答案。 故此,把图的上面和下面删除后,函数便只有一个答案,但我们不要忘记实际上是可能有其他答案的。 正切和反正切这是正切和反正切的图。你可以看的到它们是沿对角线的镜像。 正切 反正切随机三角法 正弦定理 余弦定理 解三角形 三角索引 代数索引 |
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