3.2.1 函数的最大值、最小值（练习题）

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函数的最大值、最小值 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列函数在[1，4]上最大值为3的是(　　) A．y＝＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝1－x 2．(2021·郑州高一检测)函数f(x)＝的最大值是(　　) A． B． C． D． 3．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　) A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 4．当0≤x≤2时，aA．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________． 6．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________． 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值． 8．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)； (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 能力过关 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2021·哈尔滨高一检测)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 2．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5 D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 4．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________． 三、解答题(每小题10分，共20分) 5．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1，1]上的最小值． 6．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，求f(x)的最大值． 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列函数在[1，4]上最大值为3的是(　　) A．y＝＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝1－x 分析选A.B，C在[1，4]上均为增函数，A，D在[1，4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，A符合题意． 2．(2021·郑州高一检测)函数f(x)＝的最大值是(　　) A． B． C． D． 分析选D.f(x)＝≤， 所以f(x)的最大值为. 3．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　) A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 分析选A.因为x∈[1，2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1，1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6， 所以f(x)max＝10，f(x)min＝6. 4．当0≤x≤2时，aA．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 分析选C.令f(x)＝－x2＋2x， 则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.所以a二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________． 分析函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值． 因为当x＝0时，f(0)＝a＝－2，所以f(x)＝－x2＋4x－2， 所以当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1. 答案：1 6．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________． 分析化简函数为y＝ 其图象如图所示， 所以函数的最小值为3. 答案：3 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值． 分析?x1，x2∈，且x1则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝. 由于－3≤x1所以x1－x2所以f(x1)－f(x2)所以函数f(x)在区间[－3，－2]上单调递增． 因为f(－2)＝4, f(－3)＝3， 所以函数的最大值是4，最小值是3. 8．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)； (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 分析(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 由表格得方程组 解得 所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54， 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]. (2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x) ＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]. 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润． 能力过关 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2021·哈尔滨高一检测)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 分析选A.由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2. 2．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5 D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 分析选BCD.函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1. 在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误； 在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确； 在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确； 在选项D中，当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确． 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 分析因为函数f(x)＝x2－6x＋8的图象的对称轴为直线x＝3，且在区间[1，a]上，f(x)min＝f(a)，所以a≤3.又a>1，所以1答案：(1，3] 4．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________． 分析a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2， 则a2－4a＋6的下确界为2. 答案：2 三、解答题(每小题10分，共20分) 5．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1，1]上的最小值． 分析函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上，如图所示： ①当a>1时，f(x)在[－1，1]上单调递减， 故f(x)min＝f(1)＝3－2a； ②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1，1]上先减后增， 故f(x)min＝f(a)＝2－a2； ③当a故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a. 综上可知f(x)的最小值为 f(x)min＝ 6．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，求f(x)的最大值． 分析在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象． 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分． 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4，6).由图象可知，函数f(x)的最大值为6.

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