二次函数和最值专题docx.docx

二次函数和最值专题docx.docx

《二次函数和最值专题docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数和最值专题docx.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二次函数和最值专题docx

重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练二

——二次函数最值问题

班级姓名等级

一、基本模型与方法

问题1：

“牵牛从点A出发，到河边/喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？

"即在I上找一点P,使得PA+PB和最小.

（1）A,B两点在直线异侧时，连接AB交/于P,则PA+PB和最小.

B

（2）A,B两点在直线同侧时，在/上找一点P,使得PA+PB和最小.

作B点关/的对标点皮，连接AB，交1于点P,即为所要找的P点，使PA+PB和最小.

（3）变式讨论：

在1上找一P点，使得APAB周长最小.

问题2：

在1上找一点P,使得IPA—PBI最大

（1）A,B两点在直线同侧时，连接AB井延长交1于P,贝ijIPA-pBl最大

A.

B

（2）A,B两点在直线异侧时，作B点关于1的对称点B，,连接AB，并延长交1于点P,即为所要找的P点，使1PA—PB1最大.

■

B

A.

问题3：

（1）在直线I】、b上分别求点M、N,使APNIN周长最小

做法：

分别作点P关于直线h、b的对称点Pi，P2连接Pi，P2与h，12交点即为M,N

（2）变式：

在直线1）,12上分别求点M、N,使四边形PMQN周长最小.

做法：

分别作点P,Q关于直线h，b的对称点P'，Q'，连接P'，Q'与h，12交点即为M,N

问题4：

点在锐角ZAOB内部，在OB边上求作一点D,在OA边上求作一点C,使PD+CD最小

做法：

做点P关于直线OB的对称点P，,过P，向直线OA作垂线与0B的交点为所求点D,垂足即为点C

问题5：

（1）直线1】〃12,并且h与b之间的距离为d,点A和点B分别在直线h、I2的两侧，在直线h、12上分别求一点M、N,使AM、MN、AB的和最小.

作法：

将点A向下平移d个单位到Ai，连结A|B交I2于点N,过N作MN丄h，垂足为M,连结AM,则线段AM,MN,NB的和最小，点M,N即为所求.

（2）直线I的同侧有两点A,B,在直线1上求两点C、D,使得AC,CD,DB的和最小，且CD的长为定值a,点D在点C的右侧.

作法：

将点A向右平移a个单位到厲，作点B关于直线的对称点名B|,连结街，B】交直线1于点D,过点A作AC//AQ交直线1于点G,连结BD,则线段AC、CD、DB的和最小.点C、D即为所求

二、基本题型训练

1.已知：

如图所示，抛物线y=-%2-2x+3交x轴于/\、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C.y

（1）求点A、B、C的坐标.—

（2）点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），过P作y轴的平行线交直线AC于点Q,求线段PQ的最大值.

变式1：

点P为直线AC±方抛物线上一动点（不与A、C重合）,AC于点M,求线段PM的最大值.

变式2：

点P为直线AC±方抛物线上一动点（不与A、C重合），求点P到直线AC距离的最大值.

变式3：

点P为直线AC±方抛物线上一动点（不与A、C重合），过P作y轴的平行线交直线AC于点Q,过P作直线AC的垂线，垂足为H.①求APQII周长的最大值；②求△PQH面积的最

大值.

变式4：

点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），求APAC面积的最大值.

（3）在直线AC±求点G,使AOBG周长最小，并求出周长的最小值.

2.如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点

C,连接BC.

（1）求A,B,C三点的坐标;

（2）若点P为线段BC上一点（不与B,C重合），PM〃y轴，且PM交抛物线于点M,交x

轴于点N,当ABCM的面积最大时，求ABPN的周长；

（3）在

（2）的条件下，当厶BCM的面积最大吋，在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得△CNQ

为直角三角形，求点Q的坐标.

3.如图,在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，边AB在x轴上，且AB二6,D（0,9）,以C为顶点的抛物线经过A、B两点，直线1过点C,交y轴于点E（0,12）

（1）求抛物线的解析式；

⑵（“两点一线〃线段和最小模型）若抛物线的对称轴上存在点Q,使得AQAE周长最小，求Q的坐标以及AQAE周长的最小值；

（3）若P是线段BD上方抛物线上的一个动点，求△PBD的最大而积.

（4）在⑶的基础上:

①直接写出P到直线BD的最大距离是；

②过P作PM//CD交BD于M,作PN//y轴交BD于N,求PM+PN的最大值.

4.如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax?

+4x+c的图象交x轴于另一点B.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC,点N是线段BC±的动点，作ND丄x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;

（3（“两点两线"四边形周长最小模型）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图彖的顶点，点M（4,m）

是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周氏最小，求出

I•八er

点F,E的坐标.

5.如图，已知直线y=」x+l与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线丫=丄x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当aPAE是直角三角形吋，求点P的坐标；

（3）（“线段的差最大〃模型）在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最人，求出点M的坐标.

6如图，在平面直角坐标系屮，抛物线y=--x2+-^x+6与x轴交于点A,点B,•与y轴交于点C,顶点为D,连接AD、DB,点P为线段AD±一动点.

（1）求A、B、C、D的坐标；

（2）过点P作BD的平行线，交AB与点Q,连接DQ,当厶卩。

©的而积最大时，在对称轴上找一点K,使得AKAC的周长最大，请求出K的坐标及AKAC的周长的最大值.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+巫x_2忑交x轴于A,B两点（点A

33

在点B的左侧），交y轴于点C,顶点为D,抛物线的对称轴与x轴的交点为E.

（1）求直线BC的解析式以及顶点为D的坐标.

（2）点P是第三象限内抛物线的一点，连接PC、PA,当APBC的面积最大时，在对称轴上找一点K,使得|KP-KA|值最大，请求出K点的坐标及|KP-KA|的值.

8.如图1,在平面直角坐标系屮，抛物线y—x2^/2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的

2

左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,过点B作BC的垂线，交对称轴于点E.

（1）直接写出A、B、C的坐标；

（2）求证：

4BDE是等腰三角形；

（3）点P为第四象限内的抛物线上的一动点，当APAE的面积最大时，在对称轴上找一点M,在y轴上找一点N,使得OM+MN+NP戢小，求此时点M的坐标及O\I+\IN+NP的最小值.

9•如图1,已知抛物线y=x2+2x-3与x轴相交于A,B两点，与y轴交于点C,D为顶点.

（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；

（2）已知E（0,丄），点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR丄AC于点R,当PR最大

2

时，有一条长为祈的线段MN（点M在点N的左侧）在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、

N、P构成四边形AMNP,请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标.