如何利用MATLAB进行数据拟合？

本文是科学计算与MATLAB语言课程的第5章第5、6小结的学习笔记，通过查阅本文，可以轻松掌握利用MATLAB进行数据拟合了。 E n j o y   y o u r   r e a d i n g ! Enjoy\ your\ reading! Enjoy your reading! 欢迎大家👍，收藏⭐，转发🚀， 如有问题、建议请您在评论区留言💬。

人口增长是当今世界上都关注的问题，对人口增长趋势进行预测是 各国普遍的做法。已知某国1790年到2010年间历次人口普查数据如 下表所示，请预测该国2020年的人口数。

解题思路：找一个函数，去逼近这些数据，然后再根据找到的函数，计算预测点的值。

曲线拟合的原理 与数据插值类似，曲线拟合也是一种函数逼近的方法。

y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 构造函数 g ( x ) g(x) g(x)去逼近未知函数 f ( x ) f(x) f(x)，使得误差 δ = g ( x i ) − f ( x i ) ( i = 1 , 2 , 3 , … , n ） \delta=g(x_i)-f(x_i)(i=1,2,3,…,n） δ=g(xi​)−f(xi​)(i=1,2,3,…,n）在某种意义下达到最小。 两个问题： （1）用什么类型的函数做逼近函数？ 多项式函数 （2）误差最小到底怎么计算？ 最小二乘法 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。 设p（x）是一个多项式函数 p （ x ） = a m x + a m − 1 x m − 1 + … + a 1 x + a o p（x）=a_mx+a_{m-1}x^{m-1}+…+a_1x+a_o p（x）=am​x+am−1​xm−1+…+a1​x+ao​，且 ∑ i = 1 n （ p ( x i ) − y i ) 2 \sum\limits_{i=1}^n（p(x_i)-y_i)^2 i=1∑n​（p(xi​)−yi​)2的值最小， 则p（x）为原函数y=f（x）的逼近函数。

MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit（），其功能为求得最小二乘拟合多项式系数，其调用格式为： （1）P=polyfit（X，Y，m） （2）[P，S]=polyfit（X，Y，m） （3）[P，S，mu]=polyfit（X，Y，m） 根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu（1）是mean（X），而mu（2）是std（X）。 [P，S，mu]=polyfit（X，Y，m）有什么用呢？mean（X）、std（X）又是什么意思呢？。mean函数是一个求数组平均值的函数,std函数是求标准差。 在引例中，我们已经用polyfit（）函数预测了某国2020年的人口数。这个结果是否正确呢？我们无法得到2020年的数据，但是2016年的数据已经有了。所以，不妨再预测一下该国2016年的人口数。 polyval（p，2016） ans= 327.0964 该国2016年人口数实际为323.1。 思考：相对误差1.24%，怎样才能减小？ 问题分析： 据研究，一个国家的人口增长具有如下特点： （1）发展越平稳，人口增长越有规律。 （2）当经济发展到一定水平时，人口增长率反而下降。 换言之，在不同的环境和经济发展水平，人口可能有不同的增长规律。 结论： 在人口增长数据的拟合上，应该将二战后至今这一时期的数据与此前的数据分开处理。

结论： （1）要对问题的背景进行详细的分析。 （2）采样点并非越多越好，适当的时候，可以减少采样点，分段进行拟合。

以下是某市家庭收入x与家庭储蓄y之间的一组调查数据（单位：万元），试建立x与y的线性函数经验公式。

最后几组数据误差还是挺大的。 那么总结一下，曲线拟合有哪几种功能呢？ （1）估算数据 （2）预测趋势 （3）总结规律 数据拟合和数据插值有什么区别呢？ 相同点: (1)都属于函数逼近的方法； (2)都可以通过离散有限的数据估算其他数据。 不同点: (1)实现方法上，数据插值要求逼近函数经过样本点，而曲线拟合只需要每个数据点的误差平方和最小； (2)结果形式上，数据插值往往没有统一的逼近函数，而数据拟合有统一的逼近函数； (3)侧重点上，数据插值一般用于样本点区间内的数据计算，而曲线拟合不光可以估算区间内的数据，也可以对区间外的进行预测； (4)应用场合上，如果样本点为精确数据，使用数据插值比较好，如果数据为统计数据，则使用曲线拟合更优。

曲线拟合和数据插值有所不同，各有侧重。奥里给，学好它，让它为我所用。最后不要忘记 点赞👍，收藏⭐，转发🚀， 如有问题、建议请您在评论区留言💬。