【youcans 的图像处理学习课】21. Haar 小波变换

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信号变换是为了分析时间和频率之间的相互关系。

傅里叶变换（FFT）将信号表示为无限三角函数的叠加，从而将信号从时域转换到频域，可以分析信号的频谱，但不能反映信号的时频特征，丢失了局部信息。

短时傅里叶变换（STFT）通过引入时间窗获得信号的时频谱图，但窗口尺寸是固定的，不能兼顾频域信息与时域信息，即不能同时对高频和低频进行精确分析。

小波变换以尺度函数（scaling）和小波函数（wavelet function）作为基函数进行信号分解。缩放母小波的宽度获得信号的频域特征，通过平移母小波获得信号的时间信息。

小波函数是定义在有限间隔且均值为0的一种函数。使用有限长的衰减的小波基， 既包含了频率的信息，也包含了时间的信息 。小波函数的尺度对应于频率，控制小波函数的伸缩，平移量对应于时间，控制小波函数的平移。

小波族类的产生只需要满足两个条件：归一化约束和正交化约束。因此小波有很多族类， 每个小波族在小波的紧凑性和平滑性做出了不同的权衡，对应着不同的形状、光滑度和紧密型，应用于不同的场景和状况。

运行结果：

[‘Haar’, ‘Daubechies’, ‘Symlets’, ‘Coiflets’, ‘Biorthogonal’, ‘Reverse biorthogonal’, ‘Discrete Meyer (FIR Approximation)’, ‘Gaussian’, ‘Mexican hat wavelet’, ‘Morlet wavelet’, ‘Complex Gaussian wavelets’, ‘Shannon wavelets’, ‘Frequency B-Spline wavelets’, ‘Complex Morlet wavelets’]

傅里叶变换将信号 f ( t ) f(t) f(t)分解为一系列不同频率的正弦信号的叠加，傅里叶系数对应于不同正弦信号的幅值。小波变换将信号 f ( t ) f(t) f(t)分解为一系列小波信号的叠加，产生一系列小波信号的基本小波可以根据需要来选择或设计。

连续小波变换为： γ ( s , τ ) = ∫ f ( t ) Ψ s , τ ∗ ( t ) d t \gamma (s,\tau) = \int f(t) \Psi ^* _{s,\tau} (t) dt γ(s,τ)=∫f(t)Ψs,τ∗​(t)dt 连续小波变换的逆变换为： f ( t ) = ∫ ∫ γ ( s , τ ) Ψ s , τ ( t ) d s d t f(t) = \int \int \gamma (s,\tau) \Psi _{s,\tau} (t) dsdt f(t)=∫∫γ(s,τ)Ψs,τ​(t)dsdt 其中，* 表示复共轭， Ψ s , τ ( t ) \Psi _{s,\tau} (t) Ψs,τ​(t)为小波基函数（basic wavelet）。

不同小波基函数，都是由同一个基本小波（母小波） Ψ ( t ) \Psi (t) Ψ(t) 经过缩放和平移产生。 Ψ s , τ ( t ) = 1 s Ψ ( t − τ s ) \Psi _{s,\tau} (t) = \frac{1}{\sqrt {s}} \Psi (\frac {t-\tau}{s}) Ψs,τ​(t)=s ​1​Ψ(st−τ​) 离散小波变换，通过二进小波变换（缩放因子取为2）把由基本小波生成小波基函数的方法表示为： Ψ j , k ( x ) = 2 j / 2 ∗ Ψ ( 2 j x − k ) , k = 0 , . . . 2 j − 1 \Psi_{j,k}(x) = 2^{j/2} * \Psi(2^j x-k) , \quad k=0,...2^j-1 Ψj,k​(x)=2j/2∗Ψ(2jx−k),k=0,...2j−1 其中j决定缩放系数，k决定平移幅度。

在图像处理中，离散小波变换将图像分解为大小、位置和方向都不同的分量。对图像进行小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子图像，构造出图像金字塔。

小波变换中，缩放因子scale越小，表示小波越窄，对应的信号频率越高，反映的是信号的细节变化；缩放因子越大，表示小波越宽，对应的信号频率越低，反映的是信号的轮廓变化。

双通道子带编码通过两个互补的滤波器组：

实际应用中，信号的低频特征最重要，高频分量只起细化修饰的作用。

小波变换可以表示为由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，继续下去可以进行多级分解。

如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，可以得到信号在不同分辨率下的低频分量。

图像是典型的二维离散信号。将一维离散小波变换开展到二维函数，就能实现图像的二维离散小波变换。

在二维情况下，每个二维小波都是两个一维小波的积，产生 4 个可分离的尺度函数： φ ( x , y ) = φ ( x ) φ ( y ) Ψ H ( x , y ) = Ψ ( x ) φ ( y ) Ψ V ( x , y ) = φ ( x ) Ψ ( y ) Ψ D ( x , y ) = Ψ ( x ) Ψ ( y ) \varphi (x,y) = \varphi (x) \varphi (y)\\ \varPsi ^H(x,y) = \varPsi (x) \varphi (y)\\ \varPsi ^V(x,y) = \varphi (x) \varPsi (y) \\ \varPsi ^D(x,y) = \varPsi (x) \varPsi (y) φ(x,y)=φ(x)φ(y)ΨH(x,y)=Ψ(x)φ(y)ΨV(x,y)=φ(x)Ψ(y)ΨD(x,y)=Ψ(x)Ψ(y) 这些小波度量图像中灰度沿不同方向的变化：

Haar 变换又称 Haar 小波变换，由 Alfred Haar于1910年提出，是最早提出的正交小波，也是唯一既具有对称性又是有限支撑的正交小波。

Haar 小波函数是最简单的基函数，是一组分段的常值函数组成的函数集合。这个函数集定义在半开区间[0,1)上，每个分段常值函数的数值在一个小范围为 1 而在其它区域为 0。

Haar小波的母小波（mother wavelet）表示为：

Ψ ( x ) = { 1 , 0 ≤ x < 1 / 2 − 1 , 1 / 2 ≤ x < 1 0 , o t h e r w i s e \Psi(x) = \begin{cases} \begin{aligned} 1 , \quad &0 \le x \lt 1/2\\ -1 , \quad &1/2 \le x \lt 1\\ 0 , \quad & otherwise \end{aligned} \end{cases} Ψ(x)=⎩ ⎨ ⎧​1,−1,0,​0≤x1/2 ​,0,​n=0,1otherwise​​

因此，

Ψ ( t / 2 ) = 2 ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 1 − n ∗ h [ 1 − n ] ∗ ϕ ( t − n ) = ϕ ( t − 1 ) − ϕ ( t ) \begin{aligned} \Psi (t/2) &= \sqrt{2} \sum _{n=-\infty} ^{\infty} (-1)^{1-n}*h[1-n]*\phi (t-n)\\ &= \phi (t-1) - \phi (t) \end{aligned} Ψ(t/2)​=2 ​n=−∞∑∞​(−1)1−n∗h[1−n]∗ϕ(t−n)=ϕ(t−1)−ϕ(t)​

即：

Ψ i j ( x ) = Ψ ( 2 j ∗ x − i ) , i = 0 , . . . ( 2 j − 1 ) \Psi_i^j(x) = \Psi(2^j*x-i) , i=0,...(2^j-1)\\ Ψij​(x)=Ψ(2j∗x−i),i=0,...(2j−1)

Ψ ( x ) = ϕ ( 2 x ) − ϕ ( 2 x − 1 ) \Psi(x) = \phi(2x) - \phi(2x-1) Ψ(x)=ϕ(2x)−ϕ(2x−1)

Haar 基函数可以获取信号的尺度信息，而 Haar 小波函数可以表示信号的细节信息。 Haar 小波具有如下特点： （1）Haar 小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为 [0,1) （2）Haar 小波属于正交小波。 （3）Haar 小波是对称的。 （4）Haar 小波仅取 +1 和 -1，计算简单。 （5）Haar 小波是不连续小波，在实际的信号分析与处理中受到了限制。

对一维 Chirp 信号进行 Haar 小波变换的例程和结果如下。

对二维图像进行 Haar 小波变换的例程和结果如下。

小波变换在图像处理中的应用与傅里叶变换类似，基本方法是： （1）计算一幅图像的二维小波变换，并得到小波系数 （2）对小波系数进行修改，保留有效成分，过滤不必要成分 （3）使用修改后的小波系数进行图像重建

基于小波变换的图像去噪步骤： （1）图像小波变换。选择一个小波，计算噪声图像的小波系数。 （2）对细节系数通过阈值进行过滤。选择一个细节系数阈值，并对所有细节系数进行阈值化操作。 （3）基于阈值化过滤后的细节系数及原始近似系数，使用小波变换对图像进行重建。

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