时间复杂度

From https://blog.csdn.net/weixin_40422192/article/details/121662313

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数 成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

时间复杂度

一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

常见的时间复杂度：

常数阶O(1) 对数阶O(log2n) 线性阶O(n) 线性对数阶O(nlog2n) 平方阶O(n^2) 立方阶O(n^3) k次方阶O(n^k) 指数阶O(2^n)

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：

Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

常数阶O(1)

对数阶O(log2n)

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .

例如：

log2为底数的算法是：

LOG2（N）

相当于2的多少次方（立方）等于N

例：LOG2（8）=3

相当于，2的3次方等于8

线性阶O(n)

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

线性对数阶O(nlogN)

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

平方阶O(n²)

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

时间复杂度计算方法

1 形如 T(n) = a * T(n-1) + f(n)  的时间复杂度计算方法

这种形式的复杂度计算，只能用递推的方式

例1：

T(n)=T(n-1)+n                             (1)

T(n-1)=T(n-2)+n-1                       (2)

T(n-2)=T(n-3)+n-2                       (3)

T(n-3)=T(n-4)+n-3                       (4)

……

T(3)=T(2)+3                                 (n-2)

T(2)=T(1)+2                                 (n-1)

T(1)=T(0)+1                                 (n)

将(n)式带回(n-1) 式,将(n-1)式带回(n-2) 式，将式子依次带回，最后带回(4) 式，(3) 式，(2) 式，(1) 式。带入式子结果如下:

T(n)=T(0)+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

计算结果如下：

T(n)=1+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n

T(n)=1+(1+n)*n/2

故算法的时间复杂度为

O(n2)

2 形如 T(n) = a * T(n/b) + f(n) 的时间复杂度计算方法

有一种方法叫做主方法（Master method）是用来专门计算这种形式的时间复杂度的，方法具体如下：

下边举例进行说明：

例1：

T(n) = 25*T(n/5) + n^2

因为：a=25,b=5,d=2,f(n) = n^2

所以此例符合Master method 中的第二种情况，所以 直接就可以得到：T(n) = n^2 * logn

参考：https://blog.csdn.net/ym563099457/article/details/119208061

递归算法的时间复杂度

求x的n次方

时间复杂度为O(n)

每次n-1，递归了n次时间复杂度是O(n)，每次进行了一个乘法操作，乘法操作的时间复杂度一个常数项O(1)，所以这份代码的时间复杂度是 n * 1 = O(n)。

时间复杂度忽略掉常数项-1之后，这个递归算法的时间复杂度依然是O(n)。

依然还是看他递归了多少次，可以看到这里仅仅有一个递归调用，且每次都是n/2 ，所以这里我们一共调用了log以2为底n的对数次。

每次递归了做都是一次乘法操作，这也是一个常数项的操作，那么这个递归算法的时间复杂度才是真正的O(logn)。

汉诺塔问题

时间复杂度：

汉诺塔问题的时间复杂度是指数级别的。