二阶优化方法

原文地址：二阶优化方法——牛顿法、拟牛顿法(BFGS、L-BFGS)

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对于逻辑回归和最大熵模型等以似然函数为最优化目标的问题，一般常用的求解方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。梯度下降法是一阶优化方法。牛顿法和拟牛顿法是二阶优化方法。

牛顿法和拟牛顿法的优势是收敛速度快，但是牛顿法迭代的每一步都需要求解目标函数的二阶偏导矩阵——海森矩阵（Hessian matrix）的逆矩阵，计算较复杂。拟牛顿法简化了这一点，它通过正定矩阵近似海森矩阵或它的逆矩阵。

本篇博文就介绍二阶最优化方法中的牛顿法和拟牛顿法中的BFGS、LBFGS这几个方法。

1.牛顿法

2.拟牛顿法

2.1 BFGS

2.2 L-BFGS

假设存在一个无约束的最优化问题：最小化目标函数f(x)。

牛顿法就是利用迭代点处的一阶导数（梯度）和二阶导（hessian矩阵）对目标函数进行二次函数近似，在每次迭代中迭代方向都是沿着当前点函数值下降的方向，不断重复这一过程直到求得满足精度的近似极小值。

假设f(x)有二阶连续偏导数，那么对它进行二阶泰勒展开有：

这里，是f(x)在的梯度向量：

是f(x)的hessian矩阵：

=

函数f(x)有极值的必要条件就是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0。我们对 二阶近似 求导有：