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Bellman-Ford算法与Dijkstra算法思想一样,用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外,关键是还可以解决存在负权边的问题,而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题,因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是,原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O(VE),比Dijkstra算法的时间复杂度高,就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法,事实上,有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升,例如近一两年被热捧的SPFA(Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法)算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法,本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。 Bellman-Ford算法思想Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图 G=(V,E),其源点为s,对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值,表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路,算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径dist[v]。 Bellman-Ford算法流程分为三个阶段: (1) 初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ←+∞, dist[s] ←0; (2) 迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次) (3) 检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。
Bellman-Ford(G,w,s) :boolean //图G ,边集 函数 w ,s为源点 1 for each vertex v ∈ V(G) do //初始化 1阶段 2 dist[v] ←+∞ 3 dist[s] ←0; //1阶段结束 4 for i=1 to |v|-1 do //2阶段开始,双重循环。 5 for each edge(u,v) ∈E(G) do //边集数组要用到,穷举每条边。 6 If dist[v]> dist[u]+ w(u,v) then //松弛判断 7 dist[v]=dist[u]+w(u,v) //松弛操作 2阶段结束 8 for each edge(u,v) ∈E(G) do 9 If dist[v]> dist[u]+ w(u,v) then 10 Exit false 11 Exit true
下面给出描述性证明: 首先指出,图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此它最多包含|v|-1条边。 其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。 在对每条边进行1 遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边,所以,只需要循环|v|-1 次。 每实施一次松弛操作,最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,怎么优化?单纯的优化是否可行?) 如果没有负权回路,由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1,所以最多经过|v|-1遍松弛操作后,所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 dist[v]仍保持 +∞,则表明从s到v不可达。 如果有负权回路,那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功,这时,负权回路上的顶点不会收敛。
基本 Bellman-Ford 算法的c语言实现:
#include #include
#define MAX 0x3f3f3f3f #define N 1010 int nodenum, edgenum, original; //点,边,起点 typedef struct Edge //边 { int u, v; int cost; }Edge;
Edge edge[N]; int dist[N], pre[N];
bool Bellman_Ford() { for(int i = 1; i dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost; pre[edge[j].v] = edge[j].u; } } bool flag = 1; //判断是否含有负权回路 for(int i = 1; i dis[edge[i].u] + edge[i].cost) { flag = 0; break; } return flag; }
void print_path(int root) //打印最短路的路径(反向) { while(root != pre[root]) //前驱 { printf("%d-->", root); root = pre[root]; } if(root == pre[root]) printf("%d\n", root); }
int main() { scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original); pre[original] = original; for(int i = 1; i printf("%d\n", dis[i]); printf("Path:"); print_path(i); } else printf("have negative circle\n"); return 0; } 基本算法之上的优化
分析 Bellman-Ford算法,不难看出,外层循环(迭代次数)|v|-1实际上取得是上限。由上面对算法正确性的证明可知,需要的迭代遍数等于最短路径树的高度。如果不存在负权回路,平均情况下的最短路径树的高度应该远远小于 |v|-1,在此情况下,多余最短路径树高的迭代遍数就是时间上的浪费,由此,可以依次来实施优化。 从细节上分析,如果在某一遍迭代中,算法描述中第7行的松弛操作未执行,说明该遍迭代所有的边都没有被松弛。至此后,边集中所有的边都不需要再被松弛,从而可以提前结束迭代过程。这样,优化的措施就非常简单了。 设定一个布尔型标志变量 is_relaxed,初值为false。在内层循环中,仅当有边被成功松弛时,将 is_relaxed 设置为true。如果没有边被松弛,则提前结束外层循环。这一改进可以极大的减少外层循环的迭代次数。优化后的 bellman-ford函数如下。
function bellmanford(s:longint):boolean; begin for i:=1 to nv do dist[i]:=max; dist[s]:=0; for i:=1 to nv-1 do begin is_relaxed:=false; for j:=1 TO ne do if(dist[edges[j].s]dist[edges[j].s]+edges[j].w) then begin dist[edges[j].e]:=dist[edges[j].s]+edges[j].w ; is_relaxed:=true; end; if not is_relaxed then break; end; for i:=1 to ne do if dist[edges[j].e]>dist[edges[j].s]+edges[j].w then exit(false); exit(true); end;
优化后的算法在处理有负权回路的测试数据时,由于每次都会有边被松弛,所以relaxed每次都会被置为true,因而不可能提前终止外层循环。这对应了最坏情况,其时间复杂度仍旧为O(VE)。 优化后的算法的时间复杂度已经和用二叉堆优化的Dijkstra算法相近了,而编码的复杂程度远比后者低。加之Bellman-Ford算法能处理各种边值权情况下的最短路径问题,因此还是很不错的。
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