18 GARCH模型

本章来自(Tsay 2013)§4.6-4.8内容。

ARCH模型用来描述波动率能得到很好的效果， 但实际建模时可能需要较高的阶数， 比如§17.5.3的欧元汇率波动率建模用了11阶的ARCH模型。 考虑类似从AR推广到ARMA的模型变化。

(Bollerslev 1986)提出了ARCH模型的一种重要推广模型， 称为GARCH模型。 对于一个对数收益率序列\(r_t\)， 令\(a_t = r_t - \mu_t = r_t - E(r_t | F_{t-1})\)为其新息序列， 称\(\{ a_t \}\)服从GARCH(\(m,s\))模型， 如果\(a_t\)满足 \[\begin{align} a_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^m \alpha_i a_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^s \beta_j \sigma_{t-j}^2 \tag{18.1} \end{align}\] 其中\(\{ \varepsilon_t \}\)为零均值单位方差的独立同分布白噪声列， \(\alpha_0>0\), \(\alpha_i \geq 0\), \(\beta_j \geq 0\), \(0 < \sum_{i=1}^m \alpha_i + \sum_{j=1}^s \beta_j < 1\)， 这最后一个条件用来保证满足模型的\(a_t\)的无条件方差有限且不变， 而条件方差\(\sigma_t^2\)可以随时间\(t\)而变。

模型(18.1)表面上像是如下的\(x_t = \sigma_t^2\)的类似于ARMA(\(s,m\))的模型： \[ X_t^2 - \sum_{j=1}^s \beta_j X_{t-j}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^m \alpha_i a_{t-i}^2 , \] 但是这里的\(\sigma_{t-i}^2\)和\(a_{t-i}^2\)是有关系的， \(\sigma_{t-i}^2\)是\(a_{t-i}\)的条件方差， ARMA模型中的\(x_{t-i}\)与模型中的白噪声\(\varepsilon_{t-i}\)并没有这样的关系。

为了利用GARCH模型与ARMA模型的相似性， 令\(\alpha_i=0\), 当\(i>m\)； 令\(\beta_j = 0\), 当\(j>s\)。 令\(\eta_t = a_t^2 - \sigma_t^2\)， 下一小节证明了\(E a_t = 0\)， 而\(\sigma_t^2 = \text{Var}(a_t | F_{t-1}) = E(a_t^2 | F_{t-1})\), 当\(a_t\)为严平稳列时\(\eta_t\)是鞅差序列，这是比宽白噪声严一些， 比零均值独立同分布白噪声宽一些的条件。 将\(\sigma_{t-i}^2 = a_{t-i}^2 - \eta_{t-i}\)代入模型(18.1)得 \[\begin{align} a_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{\max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i) a_{t-i}^2 + \eta_t - \sum_{j=1}^s \beta_j \eta_{t-j} . \tag{18.2} \end{align}\] 这就是关于\(\{a_t^2\}\)的ARMA(\(\max(m,s)\), \(s\))模型， 由ARMA模型的无条件期望的公式得 \[ E a_t^2 = \frac{\alpha_0}{1 - \sum_{i=1}^{\max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i)} = \frac{\alpha_0}{1 - \sum_{i=1}^m \alpha_i - \sum_{j=1}^s \beta_j} . \] 这要求分母为正，即要求\(\sum_{i=1}^m \alpha_i + \sum_{j=1}^s \beta_j < 1\)。 这时\(a_t\)的无条件方差\(\text{Var}(a_t)\)也等于上式。

下面以最简单的GARCH(1,1)为例研究GARCH模型的性质。 令\(F_{t-1}\)表示截止到\(t-1\)时刻的\(a_{t-i}\)和\(\sigma_{t-j}\)所包含的信息。 模型为 \[\begin{align} a_t =& \sigma_t \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \text{ i.i.d. WN} (0,1) , \\ \sigma_t^2 =& \alpha_0 + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 . \tag{18.3} \end{align}\]

为了计算无条件均值\(Ea_t\)，先计算条件期望 \[ E(a_t | F_{t-1}) = E(\sigma_t \varepsilon_t | F_{t-1}) = \sigma_t E(\varepsilon_t | F_{t-1}) = 0 . \] 这里用了\(\sigma_t \in F_{t-1}\)而\(\varepsilon_t\)与\(F_{t-1}\)独立。 于是 \[ E a_t = E[ E(a_t | F_{t-1})] = 0 . \] 即GARCH模型的新息\(a_t\)的无条件期望为零。

来计算\(a_t\)的无条件方差。 设模型(18.1)的\(\{ a_t \}\)序列存在严平稳解，则 \[ \begin{aligned} \text{Var}(a_t) =& E(a_t^2) = E[ E(a_t^2 | F_{t-1})] = E[ E(\sigma_t^2 \varepsilon_t^2 | F_{t-1})]\\ =& E[\sigma_t^2 E(\varepsilon_t^2 | F_{t-1})] = E[\sigma_t^2 E(\varepsilon_t^2)] \\ =& E[\sigma_t^2] = E[\alpha_0 + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2] \\ =& \alpha_0 + \alpha_1 E(a_{t-1}^2) + \beta_1 E[E(a_{t-1}^2|F_{t-2})]\\ =& \alpha_0 + (\alpha_1 + \beta_1) E(a_{t-1}^2) . \end{aligned} \] 令\(E a_t^2 = E a_{t-1}^2\)， 解得 \[ \text{Var}(a_t) = E a_t^2 = \frac{\alpha_0}{1 - \alpha_1 - \beta_1} . \]

GARCH(1,1)模型的性质：

第一，像ARCH模型一样，\(a_t\)存在波动率聚集， 一个较大的\(a_{t-1}\)或\(\sigma_{t-1}\)使得\(1\)步以后的条件方差变大， 从而倾向于出现较大的对数收益率。

第二，当\(\varepsilon_t\)为标准正态分布时， 在如下条件下\(a_t\)有无条件四阶矩： \[ 1 - 2 \alpha_1^2 - (\alpha_1 + \beta_1)^2 > 0 . \] 这时超额峰度为 \[ \frac{E a_t^4}{(Ea_t^2)^2} - 3 = \frac{2\left[1 - (\alpha_1 + \beta_1)^2 + \alpha_1^2 \right]} {1 - (\alpha_1 + \beta_1)^2 - 2\alpha_1^2} > 0 . \] 即\(a_t\)分布厚尾。 但是， 对实际数据建模时即使使用条件t分布， 对数据的厚尾性的拟合仍可能不足。

第三，GARCH模型给出了一个比较简单的波动率模型。

第四，因为\(\sigma_t^2\)对\(a_{t-i}\)的依赖是通过\(a_{t-i}^2\)， 所以一个取正值的扰动\(a_{t-i}\)和一个取负值的\(a_{t-i}\)， 只要绝对值相等， 对后续波动率的影响就是相等的， 不能体现杠杆效应。

可以用类似ARMA预测的方法预测波动率。 仍以GARCH(1,1)为例， 由模型(18.3)， 基于截止到\(h\)时刻的观测作超前一步预测： \[ \sigma_{h+1}^2 = \alpha_0 + \alpha_1 a_{h}^2 + \beta_1 \sigma_{h}^2 \in F_{h} . \] 所以 \[\begin{align} \sigma_h^2(1) = E(\sigma_{h+1}^2 | F_{h}) = \sigma_{h+1}^2 = \alpha_0 + \alpha_1 a_{h}^2 + \beta_1 \sigma_{h}^2 . \tag{18.4} \end{align}\] 对\(\sigma_{h+2}^2\)，利用\(a_t^2 = \sigma_t^2 \varepsilon_t^2\)，有 \[ \begin{aligned} \sigma_{h+2}^2 =& \alpha_0 + \alpha_1 a_{h+1}^2 + \beta_1 \sigma_{h+1}^2 \\ =& \alpha_0 + \alpha_1 \sigma_{h+1}^2 \varepsilon_{h+1}^2 + \beta_1 \sigma_{h+1}^2 \\ =& \alpha_0 + (\alpha_1 \varepsilon_{h+1}^2 + \beta_1) \sigma_{h+1}^2 \end{aligned} \] 于是 \[\begin{aligned} \sigma_h^2(2) =& E(\sigma_{h+2}^2 | F_{h}) = \alpha_0 + E(\alpha_1 \varepsilon_{h+1}^2 + \beta_1 | F_h) \sigma_{h+1}^2 \\ =& \alpha_0 + (\alpha_1 + \beta_1) \sigma_h^2(1) . \end{aligned}\] 类似地，对\(\ell \geq 2\)有 \[ \sigma_{h+\ell}^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \varepsilon_{h+\ell-1}^2 \sigma_{h+\ell-1}^2 + \beta_1 \sigma_{h+\ell-1}^2 = \alpha_0 + (\alpha_1 \varepsilon_{h+\ell-1}^2 + \beta_1) \sigma_{h+\ell-1}^2 , \] 于是 \[\begin{align} \sigma_h^2(\ell) =& E\left\{ \sigma_{h+\ell}^2 | F_h \right\} = \alpha_0 + E\left\{ (\alpha_1 \varepsilon_{h+\ell-1}^2 + \beta_1) \sigma_{h+\ell-1}^2 | F_h \right\} \\ =& \alpha_0 + E\left\{ E\left[ (\alpha_1 \varepsilon_{h+\ell-1}^2 + \beta_1) \sigma_{h+\ell-1}^2 | F_{h+\ell-2} \right] | F_h \right\} \\ =& \alpha_0 + E\left\{ \sigma_{h+\ell-1}^2 E\left[ \alpha_1 \varepsilon_{h+\ell-1}^2 + \beta_1 | F_{h+\ell-2} \right] | F_h \right\} \quad(\text{注意}\sigma_{h+\ell-1}^2 \in F_{h+\ell-2}) \\ =& \alpha_0 + \left\{ \sigma_{h+\ell-1}^2 (\alpha_1 + \beta_1) | F_h \right\} \\ =& \alpha_0 + (\alpha_1 + \beta_1) \sigma_h^2(\ell-1) . \tag{18.5} \end{align}\]

预测公式与自回归系数为\((\alpha_1 + \beta_1)\)的ARMA(1,1)的超前预测公式相同。

从\(\ell=2\)迭代计算得 \[ \sigma_h^2(\ell) = \frac{\alpha_0[1 - (\alpha_1 + \beta_1)^{\ell-1}]}{1 - (\alpha_1 + \beta_1)} + (\alpha_1 + \beta_1)^{(\ell-1)} \sigma_h^2(1) . \] 只要\(\alpha_1 + \beta_1 < 1\)就有 \[ \sigma_h^2(\ell) \to \frac{\alpha_0}{1 - \alpha_1 - \beta_1} = \text{Var}(a_t) . \] 即超前多步条件方差预测趋于\(a_t\)的无条件方差。

ARCH模型的建模步骤也适用于GARCH模型的建模。 GARCH模型的定阶方法研究不多， 一般用试错法尝试较低阶的GARCH模型， 如GARCH(1,1), GARCH(2,1), GARCH(1,2)等。 许多情况下GARCH(1,1)就能解决问题。

为了估计参数， 可以假定初始的\(\sigma_t^2\)已知， 递推计算后续的\(\sigma_t^2\)并计算条件似然函数， 求条件似然函数的最大值点得到参数估计。 有时用\(a_t\)的样本方差作为初始的\(\sigma_t\)的值。

为了检验模型的充分性， 可以计算标准化残差 \[ \tilde a_t = \frac{a_t}{\sigma_t} , \] 通过对\(\tilde a_t\)和\(\tilde a_t^2\)的白噪声检验确认模型可以接受， 还可以做\(\tilde a_t\)相对于条件分布的QQ图以检验模型假设的条件分布的拟合优度。

继续使用§17.5.1中的Intel公司股票从1973-1到2009-12的月度对数收益率数据， 有444个观测值。 §17.5.1中的ARCH(1)模型(17.7)在模型检验中有一些不足， 比如关于标准化残差平方的Ljung-Box检验的滞后15和滞后20检验是显著的。 尝试用GARCH(1,1)模型来改进。记\(r_t\)为对数收益率序列。

数据读入：