《概率论与数理统计》再学习之事件的互斥（互不相容）和独立的关系

2024-06-28 02:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

前言

事件的互不相容性和独立性，在学习的时候突然觉得这两者之间总是存在是若即若离的关系，一时间不知道怎么去归纳总结好。一直找了很多信息来看，那么究竟应该怎么去区别或者什么时候使用比较好呢？

问题

互不相容：事件A与事件B不可能同时发生。即在同一样本空间内，A与B没有交集，P(AUB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),因为P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)

独立：事件A发生的可能性，不影响事件B发生的可能性。根据条件概率可知有P(AB)=P(A)P(B|A)，因为A不影响B,所以有P(AB)=P(A)P(B)，那么也可以在同一样本空间里有P(AUB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

所以，我的疑惑有，互不相容实在同一样本空间，是不是独立其实也可以在同一样本空间内，只要A事件不影响B事件的发生即可。

分析

举例分析：

以掷骰子为例，掷1次骰子，事件A 得到点数为2，事件B 得到点数6，那么A与B，有你没我。即互不相容。以掷骰子为例，掷2次骰子，事件A 第一次得到点数为2，事件B第二次得到点数6，那么A发生不影响B也发生。即独立。

在这里问题来了，我就在想例1和例2，掷骰子次数不一样，例2相当于重复了例1两次，感觉这样对比没什么意义。那么在例1的样本空间里面，会不会有独立事件，可以同时解释互不相容和独立。

以掷骰子为例，掷1次骰子，事件的内容定义应该会影响到两者的关系。如事件A得到点数2，事件B得到点数为6。那么A发生概率为1/6，B发生概率1/6，但是A发生，B就不可能发生，两者互不相容。接上，事件A得到点数为2，事件B得到点数为10，A的发生概率为1/6，但是B为不可能事件，永远也不会发生，那么A就不影响B，两者即独立。同样的B事件可定义为数字在1-6之间，成为必然事件，两者也独立。当然这是极端情况。接上。假设A得到点数为2，B的到点数为偶数，两者是A包含于B的关系。A发生时，B就发生了；A不发生，B也有可能发生。所以既不是互不相容，也不是独立。P(AB)=P(A)。接上。假设A得到点数2，B是骰子落在桌子右侧。事件A与事件B明显互不影响。因为A与B是同一次试验中两个不同维度的事件问题，在各自的维度上有各自的概率模型。那么两者可称独立事件。如同直角坐标系的X与Y两者范围相交。有P(A∩B)/P(B)=P(A)/Ω。最后，翻阅陈希孺院士著作《概率论与数理统计》，其对于独立事件的判断说，公式P(B)=P(A)P(B)概率的乘法定理，虽未定义，但不常用于判断是否为独立事件。判断两个事件是否独立，仍然要从事件的实际角度去分析判断其不应有关联，才可是独立，可应用概率的乘法公式计算。我思考了一下，觉得有道理，与其纠结，不如在实际问题中思考，公式的含义一般都来源与现实的时间，不然P(AB)=P(A)P(B|A) 到 P(AB)=P(A)P(B)的转化是如何而来的呢，就是因为人为判断了A事件不影响B事件的发生。现实的主观性判断带来了独立事件的概念和定义。结论

到最后也恍然大悟，在探索的过程中，确实有收获，希望能帮助一些不太理解的朋友。本人也是一知半解，希望读者不吝赐教。

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