【自定义Matlab函数】利用Kronecker积求解矩阵方程AXB=D

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基本知识 Kronecker积定义

如果A是一个m×n的矩阵，B是一个p×q的矩阵，A与B的Kronecker积为一个mp×nq的分块矩阵：图源百度百科-克罗内克积具体为：

Kronecker积与矩阵方程

首先需要知道矩阵拉直运算/矩阵向量化处理概念：矩阵按行或列的顺序组成一个长向量（即下文中vec()）. 基于Kronecker积的定义，我们可以得出如下性质：在这里插入图片描述基于此，对于矩阵方程AXB=D的求解等价于通过求解：得到vec(X) 进而通过逆拉直运算求得X

Matlab代码实现 Matlab自带函数

Matlab自带kron()函数来计算Kronecker积格式：C = kron(A,B)

自定义函数

函数定义：

function X = SloveEquationKron(A,B,D) [m,p]=size(A); [q,n]=size(B); [m,n]=size(D); B=B'; C=[]; % 创建空矩阵C for row=1:n M=[]; % 辅助矩阵M for col=1:q M=[M,B(row,col)*A]; end C=[C;M]; % 矩阵拼接实现Kronecker积 end XX=C\D(:); % inv(C)*vec(D) C=B'与A的kron积 X=reshape(XX,[p,q]); end

测试程序：

m=10; p=5; q=6; n=8; A = rand(m,p); X = zeros(p,q); B = rand(q,n); D = rand(m,n); X = SloveEquationKron(A,B,D); norm(kron(B',A)\D(:)-X(:),'fro') %正确输出0

参考资料：百度百科——克罗内克积

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