单径瑞利信道中的BPSK相干解调的（理论）误码率性能

最近完成老师给的作业，题目如下：

（1）请推导出单径瑞利信道中的BPSK相干解调的理论误码率性能，并画出比特信噪比与误码率的关系曲线。 （2）在单径瑞利信道中，请设计一种时分的导引辅助的信道估计方法，用Simulink进行仿真，测量BPSK的误码率性能，画出比特信噪比与误码率的关系曲线，并与(1)的曲线进行对比。

对于BPSK的调制解调，可以参考之前的文章：

BPSK调制解调

BPSK一般是输入±1进行调制。在此处，我们假设输入信号为： s 1 ( t ) = g ( t ) s_1(t)=g(t) s1​(t)=g(t)和 s 2 ( t ) = − g ( t ) s_2(t)=-g(t) s2​(t)=−g(t)。其中 g ( t ) g(t) g(t)是在区间 [ 0 , T b ] [0,T_b] [0,Tb​]非零而在其他处为零的任意脉冲，其能量为 ξ g \xi_g ξg​。

则输入信号可表示为 s 1 ( t ) = ξ b s_1(t)=\sqrt{\xi_b} s1​(t)=ξb​ ​和 s 2 ( t ) = − ξ b s_2(t)=-\sqrt{\xi_b} s2​(t)=−ξb​ ​。假设两个信号是等概发送的，再假设此时发送信号 s 1 s_1 s1​。

在小尺度衰落信道中，发送信号 s 1 ( t ) s_1(t) s1​(t)将发送乘性失真，单径瑞利衰落信道意味着至少在一个信号传输间隔内，乘法过程可以看做是乘一个常数。因此，当发送信号 s 1 ( t ) s_1(t) s1​(t)时，在一个信号传输间隔内的等效低通接收信号为： r 1 ( t ) = a e − j ϕ s 1 ( t ) + z ( t ) ( 0 ≤ t ≤ T ) (1) r_1(t)=ae^{-j\phi}s_1(t)+z(t) (0\le t \le T) \tag{1} r1​(t)=ae−jϕs1​(t)+z(t)(0≤t≤T)(1) 式（1）中， z ( t ) z(t) z(t)表示恶化信号的复高斯白噪声过程。

假设信道衰落足够慢,以致于相移 ϕ \phi ϕ能够从接收信号中无误差地估计出来。在这种情况下,能够实现接收信号的理想相干检测。于是,接收信号可用一个匹配滤波器来处理。

那么接收端经过匹配滤波器得到的解调信号应该为： r = a s 1 + n = a ξ b + n (2) r=as_1+n=a\sqrt{\xi_b}+n \tag{2} r=as1​+n=aξb​ ​+n(2)

式（1）中，n表示均值为0，方差为 σ n 2 = 1 2 N 0 \sigma_n^2=\frac{1}{2}N_0 σn2​=21​N0​的加性高斯分量。a表示衰减。此时，要判断接收到的 r r r究竟是 s 1 s_1 s1​还是 s 2 s_2 s2​，就要进行判决。在先验概率相同的情况下，最大后验概率准则和最大似然准则的效果相同。

在本实验中，将r与阈值0进行比较，如果r>0，则判为 s 1 s_1 s1​，否则判为 s 2 s_2 s2​

显然，r被判决为s1和s2概率分布函数（PDF）分别是： p ( r ∣ s 1 ) = − 1 π N 0 e − ( r − a ξ b ) 2 / N 0 (3) p(r|s_1)=-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} e^{-(r-a\sqrt{\xi_b})^2/N_0} \tag{3} p(r∣s1​)=−πN0​ ​1​e−(r−aξb​ ​)2/N0​(3) p ( r ∣ s 2 ) = − 1 π N 0 e − ( r + a ξ b ) 2 / N 0 (4) p(r|s_2)=-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} e^{-(r+a\sqrt{\xi_b})^2/N_0} \tag{4} p(r∣s2​)=−πN0​ ​1​e−(r+aξb​ ​)2/N0​(4)

在给定了发送符号 s 1 ( t ) s_1(t) s1​(t)的情况下，错误概率就是r