应用时间序列分析笔记（3）

教材：《应用时间序列分析》人大版 《概率论与数理统计教程》茆诗松版

说明：这只是一个自学过程的记录，水平必然有限（不过我估计也没几个人看），同时内容的侧重于梳理和个人思考过程的展示，并不会把书上的推导过程打一遍，这样也意义不大，对于我认为重要的内容会多叙述一点，欢迎交流指正。

1.引入

上一期介绍wold分解定理时提到

其中AR模型是把随机部分简化，保留历史序列部分，那么对偶地，MA模型是将历史序列值简化，保留随机部分。

MA（q)模型：

X_{t}=\mu+\epsilon_{t}+\Sigma_{i=1}^{q}b_{t}\epsilon_{t-i}

为了和教材上的形式一致，这里我们令 b_{t}=-\theta_{t} ，得到教材上的MA(q）模型：

X_{t}=\mu+\epsilon_{t}-\Sigma_{i=1}^{q}\theta_{t}\epsilon_{t-i}(*)

其中 \epsilon_{t} 为0期望白噪声序列，为保证为q阶， b_{q}\ne0

2.均值&方差

对（*）两边求期望方差，可以得到：

E(X_{t})=\mu

Var(X_{t})=(1+\Sigma_{i=1}^{q}\theta_{i}^{2})\sigma^{2} ,其中 Var(\epsilon_{t})=\sigma^{2}

和AR模型不同，MA模型不具有异方差性

3.ACF

这里打起来太辛苦了，直接上图：

需要解释的是，

4.可逆性

之前我们提到：ACF与模型不是一一对应地问题：

教材P70给出地MA模型可逆性地定义则是：

可逆嘛，自然会想到算子，映射之类的的可逆性质，即需要我们在AR模型里做的一样，把MA模型写成算子的形式，先作中心化处理得到， X_{t}=\epsilon_{t}+\Sigma_{i=1}^{q}b_{t}\epsilon_{t-i}

X_{t}=\Theta(B)\epsilon_{t} ， \Theta(B)=1-\Sigma_{i=1}^{q}\theta_{i}B^{i} , B^{k}\epsilon_{t}=\epsilon_{t-k}

如果存在： I(B)=\Theta^{-1}(B) 那么中心化MA模型也可以写成：

I(B)X_{t}=\epsilon_{t} 这样就和应用时间序列分析笔记（2）中提过的AR模型算子形式一致了，也就是说AR模型和MA模型是存在内在联系的。

借用我在运筹优化这门课程里学过的内容，我把 I(B)X_{t}=\epsilon_{t} 称为 X_{t}=\epsilon_{t}+\Sigma_{i=1}^{q}b_{t}\epsilon_{t-i} 的对偶模型，即： (MA(q))^{*}=AR(?)

\epsilon_{t} 是白噪声序列， I(B)X_{t}=\epsilon_{t} ，那么得到： I(B)X_{t} 必然是收敛的，且沿用应用时间序列分析笔记（2）中的特征根理论思路，我们可以得到MA(q)可逆的条件是：