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CORDIC算法 arctan反正切计算原理及C语言定点实现

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CORDIC算法 arctan反正切计算原理及C语言定点实现

2023-08-12 09:42| 来源: 网络整理| 查看: 265

之前做FOC算法的时候，用到了TLV493D磁传感芯片通过两个相差90°的正弦曲线计算角度，所以需要计算arctan的值。这里就基于CORDIC(坐标旋转数字计算方法，Coordinate Rotation Digital Computer)理论，实现一种arctan的定点计算方法。

一、原理坐标旋转

与FOC中的Park变换原理相同，CORDIC也是通过旋转坐标轴来求解反正切值的。

$x_{2} = x_{1}cos\theta - y_{1}sin\theta = cos\theta(x_{1}-y_{1}tan\theta)$

$y_{2} = x_{1}sin\theta + y_{1}cos\theta = cos\theta(y_{1}+x_{1}tan\theta)$

如果去掉cosθ，这样不会影响角度旋转的结果，只是x和y都被缩小了cosθ，这样能简化计算，这称为伪旋转。得到下式：

$x_{2} = x_{1}-y_{1}tan\theta$

$y_{2} = y_{1}+x_{1}tan\theta$

而CORDIC的核心则是令 $tan\theta ^{i} = 2^{-i}$ ，此时得到下式：

$x_{2} = x_{1}-y_{1}2^{-i}$

$y_{2} = y_{1}+x_{1}2^{-i}$

（1）为什么用 $2^{-i}$ 呢？

因为在实际代码中，可以使用右移操作来完成，能加快计算速度。

（2）这个方法能计算的角度范围？

上表中列出了5个θ值，若为无穷个呢？由 $tan\theta = 2^{-i}$ 可得 $\theta = arctan 2^{-i}$

$\pm \theta =\pm \sum_{0}^{\infty} arctan 2^{-i} \approx \pm 99.8829^{\circ}$

所以可以看出用这个方法能求的角度范围在[-99.8829°,99.8829°]。而在大多数场合，我们的计算范围是在[-180°,180°]。四个象限内的arctan都可以相互转换，且arctan是个奇函数，所以我们只需要将其它角度都转到[0°,45°]范围内计算，得到结果后变换一下即可。

迭代

迭代求arctan的方法的原理就是：每次旋转上面表中计算出的角度，累加这个角度，使y趋近于0。

y趋近于0的意思，可以把旋转坐标系想象为Park变换。如图所示，坐标轴在以表中的角度旋转，假设此时要求点(1,1)相对x轴的角度，即θ = arctan(1/1) = 45°，坐标轴第一次旋转，则为表中最大的45°，此时在旋转坐标系(下图黑色)中，(1,1)点变为( $\sqrt{2}$ ,0)。当然在计算的过程中，x最后不会是 $\sqrt{2}$ ，因为最开始我们为了方便计算将x和y都缩小了cosθ，但是一旦旋转到了我们期望的角度，y就是0。

因此，我们只需要不断让坐标轴旋转表中的角度，得到下式：

$x_{i+1} = x_{i}-d_{i} (y_{i}2^{-i})$

$y_{i+1} = y_{i}+d_{i} (x_{i}2^{-i})$

坐标轴在逆时针旋转时 $d_{i}=1$ ，顺时针旋转时 $d_{i}=-1$ 。其实就是因为 $tan(-\theta) = -tan\theta$ ，规定以逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。

假设θ=30°，初始角度为0°。第一次逆时针旋转45°， $d_{i}=1$ 。此时45°＞30°，坐标轴要往回旋转26°， $d_{i}=-1$ ，此时角度为19°

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