数值微分

2023-03-13 02:39| 来源: 网络整理| 查看: 265

利用泰勒(Taylor)公式将函数

f(t)

展开：

f(t)=f(t_0)+f^{\prime}(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(t_0)(t-t_0)^2+\frac{1}{3!}f^{\prime\prime\prime}(t_0)(t-t_0)^3+\frac{1}{4!}f^{(4)}(t_0)(t-t_0)^4+\cdots

令

t-t_0=h,t_0=x

，则有

f(x+h)=f(x)+hf^{\prime}(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(1)

同理

f(x-h)=f(x)-hf^{\prime}(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)-\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)-\cdots \qquad(2) f(x+2h)=f(x)+2hf^{\prime}(x)+\frac{(2h)^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)+\frac{(2h)^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{(2h)^4}{4!}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(3) f(x-2h)=f(x)-2hf^{\prime}(x)+\frac{(2h)^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)-\frac{(2h)^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{(2h)^4}{4!}f^{(4)}(x)-\cdots \qquad(4) (1),(2)

相加可得

f(x+h)+ f(x-h) =2f(x)+h^2f^{\prime\prime}(x)+ \frac{h^4}{12}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(5) (1),(2)

相减可得

f(x+h)- f(x-h) =2hf^{\prime}(x)+ \frac{h^3}{3}f^{\prime\prime\prime}(x)+\cdots \qquad(6) (3),(4)

相加可得

f(x+2h)+ f(x-2h) =2f(x)+4h^2f^{\prime\prime}(x)+ \frac{4h^4}{3}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(7) (3),(4)

相减可得

f(x+2h)- f(x-2h) =4hf^{\prime}(x)+ \frac{8h^3}{3}f^{\prime\prime\prime}(x)+\cdots \qquad(8)

注意到

(5),(7)

仅包含偶数阶导数，而

(6),(8)

仅包含奇数阶导数。

由

(6)

可得

f^{\prime}(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-\frac{h^2}{6}f^{\prime\prime\prime}(x)+\cdots \qquad(9)

或者

f^{\prime}(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+ O(h^2) \qquad(10) (10)

就是求

f^{\prime}(x)

的中心差分法(Central Finite Difference Approximations )，

O(h^2)

表示截断误差(h是比较小的数)。由于截断误差是二阶，故又称二阶中心差分法。由

(5)

可得

f^{\prime\prime}(x) = \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+\frac{h^2}{12}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(11)

或者

f^{\prime\prime}(x) = \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+O(h^2) \cdots \qquad(12) (10)

就是求

f^{\prime\prime}(x)

的二阶中心差分法。

O(h^2)

表示截断误差。

(5),(7)

仅包含偶数阶导数，而

(6),(8)

仅包含奇数阶导数。利用这个特点，还可以得到求

f^{\prime\prime\prime}(x),f^{(4)}(x)

的二阶中心差分法

f^{\prime\prime\prime}(x) = \frac{f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^3}+O(h^2) \cdots \qquad(13) f^{(4)}(x) = \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^4}+O(h^2) \cdots \qquad(14)

二阶中心差分法的系数见下表。

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