R Akaike information criterion，AIC，一个越小越好的指标

　　Akaike information criterion，AIC是什么？一个用来筛选模型的指标。AIC越小模型越好，通常选择AIC最小的模型。第一句话好记，第二句话就呵呵了，小编有时候就会迷惑AIC越大越好还是越小越好。所以，还是要知其所以然的。

　　在AIC之前，我们需要知道Kullback–Leibler information或 Kullback–Leiblerdistance。对于一批数据，假设存在一个真实的模型f，还有一组可供选择的模型g1、g2、g3…gi，而K-L 距离就是用模型 gi 去估计真实模型 f 过程中损失的信息。可见K-L 距离越小，用模型 gi 估计真实模型 f 损失的信息越少，相应的模型 gi 越好。

　　然后，问题来了。怎么计算每个模型 gi 和真实模型 f 的距离呢？因为我们不知道真实模型 f，所以没办法直接计算每个模型的K-L距离，但可以通过信息损失函数去估计K-L距离。日本统计学家Akaike发现log似然函数和K-L距离有一定关系，并在1974年提出Akaike information criterion，AIC。通常情况下，AIC定义为：AIC=2k-2ln(L)，其中k是模型参数个数，L是似然函数。

　　-2ln(L)反映模型的拟合情况，当两个模型之间存在较大差异时，差异主要体现在似然函数项-2ln(L)，当似然函数差异不显著时，模型参数的惩罚项2k则起作用，随着模型中参数个数增加，2k增大，AIC增大，从而参数个数少的模型是较好的选择。AIC不仅要提高模型拟合度，而且引入了惩罚项，使模型参数尽可能少，有助于降低过拟合的可能性。然后，选一个AIC最小的模型就可以了。

　　然而，咱们平常用的最多的SPSS软件却不直接给出AIC。不过不用担心，以线性回归为例，SPSS虽不给出AIC，但会给出残差平方和，即残差Residual对应的Sum of Squares。然后，AIC=nln(残差平方和/n) 2k。其中模型参数个数k包括截距项和残差项，其中残差项往往被忽略。

比如，针对n=21的数据，某线性模型纳入2个自变量x1和x2，k应为4。从SPSS给出的方差分析表，可知AIC=21*ln(21.809/21) 2*4=8.7941。

平方和

df

均方

F

Sig

回归

240.153

2

120.076

99.103

0.000

残差

21.809

18

1.212

总计

261.962

20

除AIC之外，还有很多模型选择的指标，比如和AIC联系比较密切的BIC，我们会在以后的文章和大家讨论。