ABAQUS

anlysis of model that exhibit cyclic symmetry

循环对称分析技术用于Standard求解器。

针对循环对称的结构，ABAQUS提供了一个技术减少计算消耗，通过分析其中一个重复单元（部分）。比如某结构有16个重复部分，那么就可以用45°的模型（包括2个重复单元）来分析。当然也可以分析22.5°的模型，这样计算效率更高。但这并不是必须的。

在这种分析中必须考虑两种基本情况:

对于第一种情况，ABAQUS/STANDARD求解器支持具有循环对称响应的循环对称结构进行非线性、线性分析。在这种情况下只能施加循环对称荷载

整个分析过程中，结构是循环对称的，因此在load 中，结构在任何时候都不可能有任何非对称变形。所以只能施加循环加载。

对于第二种情况，需要额外的处理。这种情况只能执行线性摄动分析步。这是因为非对称变形响应使得“基态循环对称”的假设在后续一般非线性分析步中不成立了。如图1所示的循环对称结构的完全响应可以等于几个独立基响应(原文： basic response)的线性组合，每个基响应都对应于某个k-fold对称模式。

cyclic symmetry mode number,有时也称为“nodal diameter”,表示为一个基响应中沿着圆周的波数。图2、图3和图4说明了在包含四个重复扇区的循环对称结构中对应于0、1和2-fold模式(节点直径为0、1和2)的基本响应。

关于K-fold的理解，应该是指可以折叠多少次，就像折纸一般。图2中的响应，没法”折叠“，也就对应于0 -fold cyclir symmtry mode; 图3的响应可以折叠一次，过中心轴的对称平面只有一个，图三的响应有两个对称平面多中心轴且相互垂直。

一个完整的线性摄动分析可以通过求解一系列相应的线性分析来实现。单个重复单元上的循环对称边界条件给出了Hermitian 刚度矩阵和质量矩阵（是一个复数矩阵，具有对称实部和偏对称虚部）。序列中的第k次线性分析会使用与结构响应的k-fold 循环对称模态相对应的对称条件进行求解。对于N-fold循环对称的结构(N应该是指重复sector的数量)，需要的分析次数为：

这样就能以相对较低的计算成本求解完整响应。

To perform a general linear analysis of a cyclic symmetric structure，外部力应表示为基载荷（basic loads）的线性组合。每一个基载荷对应一个对称模态，并且激励产生了对应于同一模态的结构响应。在静态分析中，还没有实现在0倍模式以外的任何模式下定义负载的功能

由于0倍模态的响应保持循环对称性，这种类型的结构分析可以在一般的非线性分析步中完成，也可以在线性摄动步骤中完成(如上所述)。基于同样的原因，这样的阶跃可以作为循环对称线性摄动阶跃的预加载阶跃。

在ABAQUS2020中只有eigenfrequency extraction analysis(使用block Lancos方法)和 frequency domain, modal-based steady-state dynamic analysis能提取循环对称结构的非对称响应；对于特定的循环对称模态、一组循环对称模态或所有的循环对称模态，可以提取对称和非对称特征模态对应的固有频率。这些固有频率可以在后续的稳态动力分析中使用。

在基于稳态模态的动态分析中，集中、分布和表面载荷可以被定义为投射到特定的循环对称模态上。在相同的稳态动力学步骤中，所有施加的载荷必须被投影到相同的循环对称模式上。这一限制意味着在给定的稳态动力学步长内，指定的循环对称模态必须是相同的。

需要确定的参数有：

对应的关键字是：*CYCLIC SYMMETRY MODEL, N=n

CAE中对应的是：Interaction module: Interaction->Create: Cyclic symmetry: Total number of sectors: n

要使用循环对称约束，除了上面的参数，还需要在datum sector上定义一对或多对相应的surface，才可以在对应面之间使用循环对称的surface-base得到tie 约束。

第一个surface是slave surface,surface上的节点自由度会通过内部生成Multi-piont constraints来消除。第二个surface 是一个master surface。如果定义2对及以上的slave/master surface，那么所有surface pairs的从slave 到master 的旋转方向需要相同。(i.e., clockwise or counterclockwise).

上图就是mismatched surface meshes。较细的网格通常应该在slave表面。这种情况可能会导致应力场的局部不精确。

不准确性的大小取决于网格之间的不匹配程度以及所使用的元素类型

因此，在重点关注的区域，网格最好是匹配的。不匹配网格可以用在不关心的区域。

对于壳，循环对称条件必须应用于壳单元edge的节点。

ABAQUS2020循环对称约束不支持 element-based surfaces defined on the edges of shells

if mismatched meshes are used for shell elements, an element-based surface should be defined on the top or bottom of the shell elements adjacent to the edges that form the master surface. A node-based surface can be defined on the edge that forms the slave surface.

壳比较麻烦，所以更方便的做法就是使用matched mesh

如果使用的是matched mesh，哪个surface都可以是slave surface.

如上图中的mesh,这时尽可能使用node-based master surface来获得node-to-node cyclic symmetry constraints。好处：Abaqus/Standard会自动调整slave surface的节点位置从而与master surface的节点精确匹配。

这将产生最准确的结果，且计算成本最低。在这种情况下，从表面通常也会被选择为基于节点的表面，尽管计算上这并不重要，都会施加严格的节点到节点约束。

对于离散构件(如桁架或梁)，循环对称条件只能使用基于节点的曲面来执行。

如果节点位于对称轴上，则必须对0-fold和1-fold循环对称模态应用特殊的循环对称约束，而对其他循环对称模态则必须对所有自由度进行约束

对于0-fold循环对称模态，正交于对称轴平面的自由度受到约束;对于1-fold循环对称模态，沿对称轴的自由度是受限的。Abaqus/ standard将自动创建这些约束，只要节点包含在从曲面、主曲面或从曲面和主曲面的定义中

循环对称结构的固有频率和特征模态可以使用基于Lanczos eigensolver的frequency step来提取。

No additional information is required for the eigenfrequency extraction procedure. All the natural frequencies are sorted in the conventional (ascending) order. For each natural frequency the cyclic symmetry mode number is reported.

有两种不同类型的特征模态：single and paired。

0-fold cyclic symmetry eigenmode 总是single的；如果N为偶数，那么N/2-fold cyclic symmetry eigenmode 也总是single的，剩下的N/2-1个(N为偶数)或者(N-1)/2个(N为奇数) cyclic symmetry eigenmode则是paired的。对应于paired eigenmode的固有频率是相等的且在dat文件中成对出现。

N=Total number of sectors

K-fold 循环对称eigenmodes(k