有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明

両辺の差を aaa の2次式と見て平方完成する。

a2+b2+c2−ab−bc−ca={a−(b+c2)}2+34b2+34c2−32bc\begin{aligned} &a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\ &=\left\{a-\left(\dfrac{b+c}{2}\right)\right\}^2+\dfrac{3}{4}b^2+\dfrac{3}{4}c^2-\dfrac{3}{2}bc \end{aligned}​a2+b2+c2−ab−bc−ca={a−(2b+c​)}2+43​b2+43​c2−23​bc​

残りの部分を bbb の2次式と見て平方完成すると，結局

a2+b2+c2−ab−bc−ca={a−(b+c2)}2+34(b−c)2\begin{aligned} &a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\ &=\left\{ a-\left(\dfrac{b+c}{2}\right)\right \}^2 + \dfrac{3}{4} (b-c)^2 \end{aligned}​a2+b2+c2−ab−bc−ca={a−(2b+c​)}2+43​(b−c)2​

となり，平方の和に変形できるので目標の不等式が示された。