Cauchy

本文将介绍Cauchy-Bunyakovsky不等式的定义、证明和应用等内容，以及一些有趣的推论和变形。读者需要具备一定的线性代数和数学分析的基础知识。

设 a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1​,a2​,⋯,an​ 和 b 1 , b 2 , ⋯   , b n b_1,b_2,\cdots,b_n b1​,b2​,⋯,bn​ 是 n n n 个实数，或者 n n n 个复数。则有：

( ∑ i = 1 n ∣ a i ∣ 2 ) ( ∑ i = 1 n ∣ b i ∣ 2 ) − ( ∑ i = 1 n a i b i ∗ ) 2 ≥ 0 \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n |b_i|^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i^*\right)^2\geq 0 (i=1∑n​∣ai​∣2)(i=1∑n​∣bi​∣2)−(i=1∑n​ai​bi∗​)2≥0

其中， b i ∗ b_i^* bi∗​ 表示 b i b_i bi​ 的共轭复数。

我们首先分别考虑实数场景和复数场景下的情况。

对于实数 a i a_i ai​ 和 b i b_i bi​，我们可以采用向量的方式来表示它们：

a = ( a 1 ⋮ a n ) ,    b = ( b 1 ⋮ b n ) \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix},~~\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} a= ​a1​⋮an​​ ​,  b= ​b1​⋮bn​​ ​

则 ⟨ a , b ⟩ = ∑ i = 1 n a i b i \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\sum_{i=1}^n a_ib_i ⟨a,b⟩=∑i=1n​ai​bi​，即内积等于两个向量的点积。

我们考虑一个特殊的向量：

v = ( a 1 b 1 a 2 b 2 ⋯ a n b n ) T \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}a_1&b_1&a_2&b_2&\cdots&a_n&b_n\end{pmatrix}^T v=(a1​​b1​​a2​​b2​​⋯​an​​bn​​)T

根据向量点积和内积的定义，我们有：

⟨ v , v ⟩ = ∑ i = 1 n a i 2 + ∑ i = 1 n b i 2 + ∑ i ≠ j a i b j + a j b i \langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\rangle = \sum_{i=1}^n a_i^2+\sum_{i=1}^n b_i^2+\sum_{i\neq j} a_ib_j+a_jb_i ⟨v,v⟩=i=1∑n​ai2​+i=1∑n​bi2​+i=j∑​ai​bj​+aj​bi​

化简得：

( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) − ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 = ∑ i < j ( a i b j − a j b i ) 2 ≥ 0 (\sum_{i=1}^n a_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2)-\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 = \sum_{i