R语言估计多元标记的潜过程混合效应模型（lcmm）分析心理测试的认知过程

最近我们被客户要求撰写关于潜过程混合效应模型（lcmm）的研究报告，包括一些图形和统计输出。

每个动态现象都可以用一个潜过程（Λ(t)）来表征，这个潜过程在连续的时间t中演化。有时，这个潜过程是通过几个标志来衡量的，因此潜过程是它们的共同因素。

Proust-Lima 等人引入了潜在过程混合模型。(2006 - A Nonlinear Model with Latent Process for Cognitive Evolution Using Multivariate Longitudinal Data - Proust - 2006 - Biometrics - Wiley Online Library 和 2013 - Analysis of multivariate mixed longitudinal data: A flexible latent process approach - Proust‐Lima - 2013 - British Journal of Mathematical and Statistical Psychology - Wiley Online Library ).

使用线性混合模型根据时间对定义为潜过程的感兴趣量进行建模：

其中：

X(t) 和 Z(t) 是协变量的向量（Z(t) 包含在 X(t) 中；

β是固定效应（即总体平均效应）；

ui 是随机效应（即个体效应）；它们根据具有协方差矩阵 B 的零均值多元正态分布进行分布；

(wi(t)) 是一个高斯过程。

根据时间和协变量的 Λ(t) 结构模型与单变量情况完全相同。

现在，我们不再定义一个观察方程，而是定义 K 个不同标记的 K 个观察方程，其中 Yijk是对主体 i、标记 k 和场合 j 的观察。在单变量情况下，可以通过定义特定于标记的链接函数 Hk 来处理几种类型的标记。特定于标记的观察方程还可能包括协变量上的一些对比 γk 以及标记和主体特定的随机截距：

其中：

αik~N(0,σ2k)

Xcijk协变量向量

γk 是对比（k 上的总和等于 0）

tijk 对象 i、标记 k 和场合 j 的测量时间；

ϵijk一个独立的高斯误差，均值为 0，方差为 σ2ϵkσϵk2；

Hk将潜过程转换为标记 k 的尺度和度量的链接函数（由 ηk 参数化）。

目前只考虑连续链接函数。这些与单变量情况（在 lcmm 中）相同。H−1 是一组递增单调函数的参数族：

线性变换：这简化为线性混合模型（2 个参数）

Beta 累积分布族重新调整（4 个参数）

具有 m 个节点的二次 I 样条的基（m+2 个参数）

与任何潜在变量模型一样，必须定义潜在变量的度量。这里第一个随机效应 ui的方差设置为 1，平均截距（在 β 中）设置为 0。

在这个例子中，当认知被定义为三种心理测试的共同因素时，我们研究了认知随时间变化的轨迹：MMSE、BVRT和IST。这里的时间尺度是进入队列后的年数，轨迹被假定为时间上的二次方（在个人和人群层面），模型被调整为进入时的年龄。为了进一步研究性别的影响，包括对共同因素的平均效应和对每个标志的差异效应（对比）（在这个例子中不与时间相互作用）。

其中：

和 

, 

 是布朗过程， 

 对于 k = 1,2,3： 

, 

 和 

我们首先创建变量标准化， 避免数值问题：

  tie