基于Neumann级数的有偏估计方法

2024-07-02 15:38| 来源: 网络整理| 查看: 265

许多工程问题中都需要求解线性方程组，最小二乘估计是求解线性方程组最常用的方法，它满足最优线性无偏性，因此又称为无偏估计。但当方程组的系数矩阵呈现病态时，由最小二乘法所得的参数估值往往误差很大甚至完全失真，这称为病态最小二乘问题[1]。例如，考虑一个常见的线性估计模型：

$ \mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{A}}\mathit{\boldsymbol{x}} $ (1)

其中，y为m×1维观测向量(含有观测误差)，A为m×n维系数矩阵(列满秩)，x为n×1维未知参数向量。方程(1)两边乘以AT可得法方程为：

$ z = \mathit{\boldsymbol{Bx}} $ (2a) $ \mathit{\boldsymbol{B}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}} $ (2b) $ z = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{y}} $ (2c)

则由方程(2)可得x的最小二乘估计为：

$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{LSE}}}} = {\mathit{\boldsymbol{B}}^{ - 1}}z $ (3)

由于工程问题的复杂性，矩阵B往往呈现病态或严重病态，即矩阵B的条件数很大或矩阵B近似为奇异矩阵，此时，由方程(3)所得的最小二乘估计xLSE将严重偏离x的真值，必须寻求x的更好估计。

1 岭估计和广义岭估计

为了解决病态最小二乘问题，许多学者开展了岭估计[2]和广义岭估计[3]研究。从矩阵方程的角度，岭估计的基本思想是：在矩阵B中增加一个扰动矩阵k I，以降低系数矩阵的条件数，从而获得更加稳定的估值。其计算公式为：

$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{RE}}}} = {(\mathit{\boldsymbol{B}} + k\mathit{\boldsymbol{I}})^{ - 1}}z $ (4)

式中，xRE为x的岭估计，I为与矩阵B同维的单位矩阵，系数k称为岭参数。如果把方程(4)中的扰动矩阵k I更换为一般的对角矩阵Λ，则可得广义岭估计xGRE的计算公式：

$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_{{\rm{GRE}}}} = {(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }})^{ - 1}}z $ (5a) $ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_1}}&{}&{}&{}\\ {}&{{k_2}}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{{k_n}} \end{array}} \right] $ (5b)

显然，对比式(3)、式(4)和式(5)可知，当k1=k2=…=kn=k时，广义岭估计退化为岭估计；当k1=k2=…=kn=0时，岭估计退化为最小二乘估计。由于方程(4)和方程(5)并非线性方程(2)的无偏估计(例如，方程(4)本质上是z－kIx = Bx的无偏估计，显然并非方程(2a)的无偏估计)，因此，岭估计和广义岭估计均属于有偏估计。目前，岭估计和广义岭估计的研究重点是，如何选择合适的岭参数k，以使得所得的xRE最接近x的真值，许多学者就此开展了相关研究[4-9]。

2 基于Neumann级数的有偏估计

为了更好地探究岭估计的本质，统一各种形式的岭估计公式，并进一步统一有偏估计和无偏估计，本文从Neumann级数的角度，推导出x的一系列有偏估计形式，可以清楚地说明现有相关公式的本质联系，为工程中寻求x的最优估计建立理论基础，同时也是Neumann级数的一次新应用。其推导过程如下。

首先，将方程(3)等价变形为：

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x}} = {\mathit{\boldsymbol{B}}^{ - 1}} \cdot z = {(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}} - \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}}z = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {((\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}) - \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}} \cdot z \end{array} $ (6)

式中，矩阵K是扰动矩阵，可以是前述的对角矩阵，也可以是任意的其他矩阵，只要能够降低条件数即可：

$ \rm{cond}(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}) < cond(\mathit{\boldsymbol{B}}) $ (7)

式中，cond表示条件数。对方程(6)利用Neumann级数[10-11]展开得到：

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x}} = {(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}}[\mathit{\boldsymbol{I}} + \mathit{\boldsymbol{K}}{(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}} + \\ \mathit{\boldsymbol{K}}{(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{K}}{(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}} + \cdots ] \cdot z \end{array} $ (8)

根据Neumann级数的收敛条件，方程(8)的收敛条件为：

$ \frac{{\left\| \mathit{\boldsymbol{K}} \right\|}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}} \right\|}} < 1 $ (9)

式中，‖·‖表示矩阵的范数。方程(8)即为基于Neumann级数的x估值公式，有着重要意义。它包含现有的最小二乘估计、岭估计和广义岭估计公式，也建立了有偏估计和无偏估计的本质联系，并可以据此引申出一系列新的有偏估计形式。要点如下。

1) 在方程(8)中，若忽略所有高阶项，只保留第一项可得到：

$ \boldsymbol{x} = {\left( {\boldsymbol{B} + \boldsymbol{K}} \right)^{ - 1}}\boldsymbol{z} $ (10)

对比方程(5a)和方程(10)可以发现，如果扰动矩阵K取为对角矩阵Λ，则方程(10)就转化为广义岭估计公式；进一步，如果K取为k I，则方程(10)就转化为岭估计公式。因此，岭估计和广义岭估计本质上就是方程(8)中取第一项的结果。因此，也可以认为岭估计实际为一级有偏估计。

2) 由于方程(8)是由方程(3)等价变形得到的，而方程(3)是x的无偏估计，若方程(8)中只取有限项，则必然是x的有偏估计。这也说明，有偏估计本质上是从无偏估计中取出一部分，或者更加具体一点，岭估计其实是从最小二乘估计中取出了一部分。另外，如果所取的扰动矩阵K满足收敛条件(9)，则有偏估计可以无限逼近无偏估计。

3) 如前所述，方程(8)中如果只取第一项，则可得到常见的岭估计或广义岭估计；如果方程(8)中保留更多的项，则可得到一系列新的有偏估计形式。比如，令Q = K(B+K)－1，则方程(8)中取前两项和取前3项所得的有偏估计公式分别为：

$ {x^{'}} = {(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}} \cdot [\mathit{\boldsymbol{I}} + \mathit{\boldsymbol{Q}} ] \cdot z $ (11) $ {x^{''}} = {(\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}})^{ - 1}} \cdot [\mathit{\boldsymbol{I}} + \mathit{\boldsymbol{Q}} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}^2}] \cdot z $ (12)

方程(11)可以称为二级有偏估计，方程(12)可以称为三级有偏估计。接下来的数值算例分析显示，在这一系列的有偏估计形式中，存在着比岭估计或广义岭估计更接近于x真值的解。

3 算例

以文献[12]所用的病态平差模型y = Ax为例，其中系数矩阵A和观测向量y的真值为：

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 5}&1&1&{ - 9.5}\\ { - 2}&4&1&{ - 1.05}&{8.5}\\ { - 2}&1&1&{ - 1}&{2.4}\\ { - 1}&{2.5}&4&{ - 0.5}&7\\ { - 1}&{3.2}&4&{ - 0.5}&{8.4}\\ 1&1&{ - 3}&{0.4}&{0.49}\\ 3&7&{ - 3}&{1.5}&{12.7}\\ 5&{ - 1}&{ - 2}&{2.5}&{ - 3}\\ 4&2&{ - 2}&{2.01}&3\\ 4&3&{ - 2}&2&5 \end{array}} \right], \mathit{\boldsymbol{y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10.5}\\ {10.45}\\ {1.4}\\ {12}\\ {14.1}\\ { - 0.11}\\ {21.2}\\ {1.5}\\ {9.01}\\ {12} \end{array}} \right] $ (13)

未知参数向量x的真值为x true=[1 1 1 1 1]T。显然，该方程组存在严重病态，因为其相应法方程中的系数矩阵B = AT A的条件数为：cond(B)=1.289 2×105。如果观测向量y无误差，则由方程(13)的最小二乘估计即可获得x的真值。现考虑观测向量y中存在误差的情况，误差的模拟方式为：使用Matlab对观测向量y中的每一个元素添加一个服从正态分布(均值为0，方差为0.01)的随机数。不失一般性，假设含有误差的观测向量为yc=[－10.178 1, 10.640 4, 1.372 4, 12.050 0, 13.607 7, －0.112 2, 20.942 2, 1.554 0, 9.328 6, 12.112 3]T。此时，当取不同的扰动矩阵K时，上述方程的最小二乘估计xLSE、岭估计xRE(也是一级有偏估计)、二级有偏估计x′和三级有偏估计x″分别列于表 1~5中，其中eΔx表示x的估计值与真值之间的相对偏差，即

表 1 Tab. 1 表 1 当K=kI=20I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 1 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=20I xtrue xLSE xRE x′ x″ 1 1.415 3 0.828 0 1.066 3 1.153 7 1 3.133 2 0.496 4 0.463 1 0.440 1 1 1.528 1 0.401 8 0.652 4 0.769 1 1 0.233 4 0.419 2 0.540 8 0.585 3 1 -0.076 8 1.199 1 1.255 5 1.265 6 eΔx= 0 eΔx= 1.161 8 eΔx= 0.451 2 eΔx= 0.371 4 eΔx= 0.355 8 注：K =20 I时，cond(B + K)=31.586 3 < cond(B)，$\frac{{\left\| \mathit{\boldsymbol{K}} \right\|}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}} \right\|}} = 0.0317 < 1 $。表 1 当K=kI=20I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 1 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=20I 表 2 Tab. 2 表 2 当K=kI=30I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 2 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=30I xtrue xLSE xRE x′ x″ 1 1.415 3 0.727 0 0.984 4 1.098 3 1 3.133 2 0.508 3 0.484 1 0.455 6 1 1.528 1 0.300 5 0.545 6 0.690 5 1 0.233 4 0.367 7 0.499 0 0.557 3 1 -0.076 8 1.173 0 1.245 8 1.259 6 eΔx= 0 eΔx= 1.161 8 eΔx= 0.497 1 eΔx= 0.396 0 eΔx= 0.364 7 注：K =30 I时，cond(B + K)=21.392 5 < cond(B)，$\frac{{\left\| \mathit{\boldsymbol{K}} \right\|}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}} \right\|}} = = 0.046 7 < 1 $。表 2 当K=kI=30I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 2 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=30I 表 3 Tab. 3 表 3 当K=kI=50I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 3 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=50I xtrue xLSE xRE x′ x″ 1 1.415 3 0.593 6 0.854 6 0.992 4 1 3.133 2 0.515 3 0.514 3 0.485 0 1 1.528 1 0.184 2 0.388 9 0.545 5 1 0.233 4 0.299 7 0.432 6 0.503 2 1 -0.076 8 1.129 3 1.229 2 1.247 9 eΔx= 0 eΔx= 1.161 8 eΔx= 0.560 9 eΔx= 0.448 3 eΔx= 0. 395 0 注：K =50 I时，cond(B + K)=-13.236 3 < cond(B)，$\frac{{\left\| \mathit{\boldsymbol{K}} \right\|}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}} \right\|}} = 0.075 5 < 1 $。表 3 当K=kI=50I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 3 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=50I 表 4 Tab. 4 表 4 当K=kI=0.5I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 4 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=0.5I xtrue xLSE xRE x′ x″ 1 1.415 3 1.206 1 1.229 4 1.237 3 1 3.133 2 0.454 8 0.482 6 0.513 4 1 1.528 1 0.844 5 0.871 94 0.880 0 1 0.233 4 0.593 9 0.586 5 0.571 6 1 -0.076 8 1.255 6 1.242 5 1.227 1 eΔx= 0 eΔx= 1.161 8 eΔx= 0.344 7 eΔx= 0.336 6 eΔx= 0.329 4 注K =0.5 I时，cond(B + K)=1 213.2 < cond(B)，$\frac{{\left\| \mathit{\boldsymbol{K}} \right\|}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}} \right\|}} =8.164 9×10^{-4} < 1 $。表 4 当K=kI=0.5I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 4 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=0.5I 表 5 Tab. 5 表 5 当K=kI=0.2I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 5 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=0.2I xtrue xLSE xRE x′ x″ 1 1.415 3 1.226 8 1.251 5 1.268 8 1 3.133 2 0.498 7 0.572 6 0.645 6 1 1.528 1 0.867 9 0.894 8 0.913 1 1 0.233 4 0.576 4 0.543 7 0.509 8 1 -0.076 8 1.234 1 1.197 6 1.161 3 eΔx= 0 eΔx= 1.161 8 eΔx= 0.333 0 eΔx= 0.317 6 eΔx= 0.307 1 注：K =0.2 I时，cond(B + K)=20989.4 < cond(B)，$\frac{{\left\| \mathit{\boldsymbol{K}} \right\|}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{K}}} \right\|}} =3.267 6×10^{-4}< 1 $ 。表 5 当K=kI=0.2I时，xLSE、xRE、x′和x″的值 Tab. 5 values of xLSE, xRE, x′, and x″ when K=kI=0.2I $ {\mathit{\boldsymbol{e}}_{\Delta x}} = \frac{{{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{estimate}}} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{true}}}} \right\|}_2}}}{{{{\left\| {{x_{\rm{true}}}} \right\|}_2}}} $ (14)

由表 1~5可见，当观测向量y中含有误差时，由最小二乘估计所得结果和真值偏差较大，而各级有偏估计的结果和真值更加接近。就本例而言，二级和三级有偏估计解都比岭估计更接近于真值。上述结果说明，本文基于Neumann级数的有偏估计方法是合理可行的。

接下来分析k值的选取对计算结果的影响规律。不失一般性，由表 1和表 5对比可见，当k=0.2时的各级有偏估计解均比当k=20时的解精确，根据现有文献中选择岭参数的经验可知，当k值越接近于最优岭参数时，其计算结果越准确。因此，本文方法在应用时，可以先用现有的岭参数选择方法来选择一个合适的k值，然后再使用本文所提的各级有偏估计公式，这样能迅速获得更加准确的计算结果。需要指出的是，即使所取的k值远离最优岭参数，比如上述算例中k=20、30、50时，通过增加方程(8)中所保留的级数阶数，也能获得与k=0.2、0.5时精度相当的解。表 6给出了取不同k值时获得精度相当的解所需要的级数阶数。由表 6可见，随着k值的增大，要获得精度相当的解所需要保留的级数阶数也增大，如k=50时，其第760级有偏估计解才与k=0.2时第3级有偏估计解的精度相当。但这也同时说明，即使所取的k值偏大，也总能通过增加级数阶数来获得较好的计算结果。需要注意的是，无论对于哪一个k值，保留的级数阶数并非越多越好，因为随着级数阶数的无限增加，方程(8)将无限逼近最小二乘估计，因此所保留的级数阶数也有一个最优值。表 7给出了当k=0.5时前18级有偏估计解与真值之间的相对误差变化情况，由表 7可见，与真值最接近的解是第11级和第12级有偏估计，因为其对应的相对误差最小(均为0.301 3)。显然，随着级数阶数的增加，解的精度呈现先逐渐提高后又逐渐降低的趋势，当k=0.5时，最优的有偏估计为第11和12级有偏估计。

表 6 Tab. 6 表 6 不同k值时的计算结果对比 Tab. 6 Comparison of results with different values of k xtrue k=0.2时，第3级有偏估计解 k=0.5时，第8级有偏估计解 k=20时，第300级有偏估计解 k=30时，第460级有偏估计解 k=50时，第760级有偏估计解 1 1.268 8 1.273 1 1.270 3 1.271 5 1.271 0 1 0.645 6 0.662 1 0.649 1 0.653 9 0.652 0 1 0.913 1 0.917 2 0.913 9 0.915 1 0.914 7 1 0.509 8 0.501 4 0.506 9 0.504 6 0.505 5 1 1.161 3 1.153 1 1.159 6 1.157 1 1.158 1 eΔx=0 eΔx=0.307 1 eΔx=0.305 8 eΔx=0.307 3 eΔx=0.306 8 eΔx=0.307 0 表 6 不同k值时的计算结果对比 Tab. 6 Comparison of results with different values of k 表 7 Tab. 7 表 7 k=0.5时前18级有偏估计与真值之间的相对误差 Tab. 7 The comparative errors between the biased estimates and the true values when k=0.5 第1级解eΔx=0.344 7 第2级解eΔx=0.336 6 第3级解eΔx=0.329 4 第4级解eΔx=0.323 1 第5级解eΔx=0.317 5 第6级解eΔx=0.312 8 第7级解eΔx=0.308 9 第8级解eΔx=0.305 8 第9级解eΔx=0.303 5 第10级解eΔx=0.302 0 第11级解eΔx=0.301 3 第12级解eΔx=0.301 3 第13级解eΔx=0.302 0 第14级解eΔx=0.303 4 第15级解eΔx=0.305 4 第16级解eΔx=0.308 0 第17级解eΔx=0.311 1 第18级解eΔx=0.314 7 表 7 k=0.5时前18级有偏估计与真值之间的相对误差 Tab. 7 The comparative errors between the biased estimates and the true values when k=0.5

上述病态最小二乘问题只考虑了观测向量中含有误差的情况，工程实践中，线性模型的系数矩阵里往往也含有误差，相应的病态问题解算中需要同时考虑系数矩阵和观测向量的误差，这种问题称为病态整体最小二乘问题[1,12-14]。本文方法也可用于病态整体最小二乘问题的解算。为了便于比较，接下来的讨论采用文献[14]所模拟的病态平差模型，其系数矩阵和观测向量由方程(13)中的数据添加随机误差得到，所添加的随机误差均服从均值为0、方差为0.01的正态分布。加入随机误差后的系数矩阵和观测向量具体为：

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.8812}&{ - 5.1186}&{1.0129}&{1.0806}&{ - 9.5331}\\ { - 2.2202}&{3.8944}&{1.0656}&{ - 1.0268}&{8.4156}\\ { - 1.9014}&{1.1472}&{0.8832}&{ - 1.099}&{2.4498}\\ { - 1.0519}&{2.5056}&{3.9539}&{ - 0.366}&{7.1488}\\ { - 0.9673}&{3.0783}&{3.9738}&{ - 0.471}&{8.3454}\\ {1.0234}&{0.9959}&{ - 3.1213}&{0.5479}&{0.4053}\\ {3.0021}&{6.8872}&{ - 3.1319}&{1.6138}&{12.675}\\ {4.8996}&{ - 1.1349}&{ - 1.9069}&{2.4316}&{ - 2.9337}\\ {3.9053}&{1.9739}&{ - 1.9989}&{1.8808}&{2.9146}\\ {3.9626}&{3.0953}&{ - 2.0645}&{1.9927}&{4.8799} \end{array}} \right], \mathit{\boldsymbol{y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10.512}\\ {10.443}\\ {1.4485}\\ {11.94}\\ {14.085}\\ { - 0.1535}\\ {21.192}\\ {1.6535}\\ {8.9494}\\ {11.865} \end{array}} \right] $ (15)

该模型法矩阵的条件数为2.083 7×104，病态性严重。文献[14]中给出了各种方法的解算结果，如表 8所示，其中TLS表示整体最小二乘法，LSE表示最小二乘法，RE表示岭估计方法，VOM表示虚拟观测解法，估计值与真值之间的偏差e采用绝对偏差(即e=‖ xestimate－ xtrue‖2)。

表 8 Tab. 8 表 8 现有方法的解算结果 Tab. 8 Results obtained by the existing methods xtrue TLS TLS(L曲线法) LSE RE(L曲线法) VOM 1 3.304 1 1.189 9 1.394 4 1.215 7 1.156 7 1 -2.803 3 0.390 3 0.122 3 0.372 8 0.402 8 1 0.060 0 0.812 2 0.779 1 0.828 0 0.777 1 1 3.587 4 0.610 9 0.262 8 0.598 3 0.602 8 1 2.902 7 1.306 0 1.441 4 1.315 7 1.298 0 e=0 e= 6.732 2 e= 0.829 0 e= 1.308 8 e= 0.854 7 e= 0.823 1 表 8 现有方法的解算结果 Tab. 8 Results obtained by the existing methods

采用本文方法，当k取10时，前5级有偏估计结果如表 9所示。由表 9可见，第3级有偏估计解的精度最好。对比表 8和表 9可见，本文方法第2~5级解的精度略高于表 8中各种方法的解算精度，进一步说明本文方法是合理可行的。

表 9 Tab. 9 表 9 本文方法的解算结果(k=10) Tab. 9 Results obtained by the proposed method when k=10 xtrue 第1级解第2级解第3级解第4级解第5级解 1 0.967 0 1.149 8 1.194 2 1.206 1 1.209 7 1 0.450 8 0.410 1 0.395 5 0.391 0 0.389 3 1 0.556 2 0.763 4 0.822 7 0.838 6 0.842 8 1 0.508 1 0.604 2 0.626 5 0.631 4 0.631 9 1 1.258 2 1.298 6 1.305 2 1.307 2 1.308 0 e=0 e= 0.899 0 e= 0.819 9 e= 0.816 8 e= 0.818 3 e= 0.819 7 表 9 本文方法的解算结果(k=10) Tab. 9 Results obtained by the proposed method when k=10 4 结语

本文提出一种基于Neumann级数的有偏估计方法，用于解决病态最小二乘问题。所提方法是Neumann级数的一次新应用，它包含现有的最小二乘估计、岭估计和广义岭估计公式，也建立了有偏估计和无偏估计的本质联系，并可以据此引申出一系列新的有偏估计形式。从本文的数值算例结果来看，在这一系列的有偏估计形式中，存在着比岭估计或广义岭估计更接近于真值的解。算例结果初步说明了本文方法的价值，为解决病态最小二乘问题提供了一条新途径。

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