求解 PDE 方程组

在编写方程代码之前，您需要确保它的形式符合 pdepe 求解器的要求：

c(x,t,u,∂u∂x)∂u∂t=x-m∂∂x(xmf(x,t,u,∂u∂x))+s(x,t,u,∂u∂x).

在此形式中，PDE 系数是矩阵值，方程变为

[1001]∂∂t[u1u2]=∂∂x[0.024∂u1∂x0.170∂u2∂x]+[-F(u1-u2)F(u1-u2)].

因此，方程中的系数的值是

m=0

c(x,t,u,∂u∂x)=[11]（仅对角线值）

f(x,t,u,∂u∂x)=[0.024∂u1∂x0.170∂u2∂x]

s(x,t,u,∂u∂x)=[-F(u1-u2)F(u1-u2)]

现在，您可以创建一个函数以编写方程代码。该函数应具有签名 [c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx)：

x 是独立的空间变量。

t 是独立的时间变量。

u 是关于 x 和 t 微分的因变量。它是二元素向量，其中 u(1) 是 u1(x,t)，u(2) 是 u2(x,t)。

dudx 是偏空间导数 ∂u/∂x。它是二元素向量，其中 dudx(1) 是 ∂u1/∂x，dudx(2) 是 ∂u2/∂x。

输出 c、f 和 s 对应于 pdepe 所需的标准 PDE 形式中的系数。

因此，此示例中的方程可由以下函数表示：

（注意：所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。）

接下来，编写一个返回初始条件的函数。初始条件应用在第一个时间值处，并为 x 的任何值提供 u(x,t0) 的值。初始条件的数量必须等于方程的数量，因此对于此问题，有两个初始条件。使用函数签名 u0 = pdeic(x) 编写函数。

初始条件为

u1(x,0)=1,

u2(x,0)=0.

对应的函数是

现在，编写计算以下边界条件的函数

∂∂xu1(0,t)=0,      u2(0,t)=0,∂∂xu2(1,t)=0,      u1(1,t)=1.

对于在区间 a≤x≤b 上提出的问题，边界条件应用于所有 t 以及 x=a 或 x=b。求解器所需的边界条件的标准形式是

p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,∂u∂x)=0.

以这种形式编写，u 的偏导数的边界条件需要用通量 f(x,t,u,∂u∂x) 来表示。因此，此问题的边界条件是

对于 x=0，方程为

[0u2]+[10]⋅[0.024∂u1∂x0.170∂u2∂x]=0.

系数是：

pL(x,t,u)=[0u2],

qL(x,t)=[10].

同样，对于 x=1，方程是

[u1-10]+[01]⋅[0.024∂u1∂x0.170∂u2∂x]=0.

系数是：

pR(x,t,u)=[u1-10],

qR(x,t)=[01].

边界函数应使用函数签名 [pl,ql,pr,qr] = pdebc(xl,ul,xr,ur,t)：

对于左边界，输入 xl 和 ul 对应于 u 和 x。

对于右边界，输入 xr 和 ur 对应于 u 和 x。

t 是独立的时间变量。

对于左边界，输出 pl 和 ql 对应于 pL(x,t,u) 和 qL(x,t)（对于此问题，x=0）。

对于右边界，输出 pr 和 qr 对应于 pR(x,t,u) 和 qR(x,t)（对于此问题，x=1）。

此示例中的边界条件由以下函数表示：

当 t 较小时，此问题的解会快速变化。虽然 pdepe 选择了适合解析急剧变化的时间步，但要在输出绘图中显示该行为，您需要选择适当的输出时间。对于空间网格，在 0≤x≤1 两端的解中都存在边界层，因此您需要在那里指定网格点来解析急剧变化。

最后，使用对称性值 m、PDE 方程、初始条件、边界条件以及 x 和 t 的网格来求解方程。

pdepe 以三维数组 sol 形式返回解，其中 sol(i,j,k) 是在 t(i) 和 x(j) 处计算的解 uk 的第 k 个分量的逼近值。将每个解分量提取到一个单独变量中。

创建在 x 和 t 的所选网格点上绘制的 u1 和 u2 的解的曲面图。

此处列出 PDE 求解器 pdepe 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。