基于电荷累积的棒

近年来,我国超特高压交直流输电工程不断发展,输电走廊日趋紧张,这为输变电工程的外绝缘设计提出了更高的要求。棒-板间隙为典型极不均匀电场分布空气间隙,其放电特性研究对于输变电工程的外绝缘设计具有重要的参考意义。针对棒-板间隙,国内外学者进行了大量的放电试验及仿真工作[1-4]。但目前对于长空气间隙放电尚未有被普遍接受的模型。

流注放电的分形模型因能够良好的模拟流注放电通道的形态特性而被广泛应用于长空气间隙放电仿真[5-7]。介质击穿分形模型主要着眼于介质中的电场分布在放电发展过程中的影响。通过有限元法求解间隙电位分布进而得到间隙电场分布,获得间隙不同位置流注放电发展概率,从而对放电通道进行模拟。经典的电介质分形放电模型着重于研究流注放电通道的形状特性,并考虑不均匀电介质对流注放电通道的影响。Biller P及Noskov M D分别于1993年及2003年提出了不同的分形放电模型时间参数运算方法[8-9],使得分形放电模型得以对流注放电的动态过程进行仿真。两种不同的时间参数求取方式均基于间隙电场的概率密度函数,且放电总时间无法计算得出。

本文在原有介质击穿分形模型的基础上,通过求解电场及电荷累积的联立方程,确定了流注放电的时间参数,模拟出放电过程中流注长度、电场波形的变化,得出了流注放电过程的电荷累积。模型提出了新的分形放电模型时间参数求取方法,仿真了流注发展过程的动态、形态、电荷、电场的实时的变化,着眼于流注发展的整个过程及时间响应,是对以往分形流注模型的全面及深化。根据Goelian先导放电模型理论,长空气间隙先导放电的发展依赖于先导头部流注区的电荷累积量[10]。本文对流注区电荷量的计算,为分形介质击穿理论在先导放电中的应用提供了条件。

分形模型的二维空间电场计算通过对棒-板间隙空间进行网格剖分,并对所有网格通过有限元差分求解电位分布方程的方法实现,图1为棒-板间隙的网格剖分示意图。

如图1所示的棒-板电极,其棒电极长度为L,间隙距离为H,将棒-板间隙空间剖分为m×n的正方形网格,对于间隙中的网格节点(i, j),其Laplace电位和Poisson电位分别满足式(1)、(2)所示的差分方程：

\({{\varphi }_{i,j}}\text{=}\frac{1}{4}({{\varphi }_{i,j-1}}+{{\varphi }_{i-1,j}}+{{\varphi }_{i,j+1}}+{{\varphi }_{i+1,j}})+{{h}^{2}}\frac{{{\rho }_{i,j}}}{4{{\varepsilon }_{0}}}\) (1)

\({{\varphi }_{i,j}}\text{=}\frac{1}{4}({{\varphi }_{i,j-1}}+{{\varphi }_{i-1,j}}+{{\varphi }_{i,j+1}}+{{\varphi }_{i+1,j}})\) (2)

流注通道区域内节点的电位可通过式(1)求得,流注通道区域外节点的电位可通过式(2)求得。式中,\({{\varphi }_{i,j}}\)为节点(i,j)的电位,kV;\({{\rho }_{i,j}}\)为节点处的自由电荷密度,C/m3,对流注通道外区域,其值为0;\({{\varepsilon }_{0}}\)为空气介电常数,8.85×10-12 F/m;h为正方形网格的边长,m。结合边界条件对每一个网格运用有限差分方法多次迭代求解电位方程,可得到棒-板间隙的电位分布。通过求取电位分布的梯度,可求出间隙内的场强分布。

电场计算为间隙放电过程的基础,其计算方法的准确度直接影响到放电发展过程中放电路径,电荷积累的动态变化。边界条件及迭代方法是影响电场计算结果的重要因素。原有的电场计算方法中,通常假设棒-板间隙上边界电位与棒电极电位相同(固定上边界)。本文提出了动态上边界方法计算间隙Laplace电场分布。将棒电极横对称轴上半部分区域视为上边界区域,假设其电位分布大致与棒电极横对称轴下半部分区域关于棒电极横对称轴对称。在Laplace电场方程的每一次迭代求解过程中,改变上边界区域的电位值,最终求取间隙的电场分布。

为选择合适的电场计算方法,运用原有的固定上边界电场计算方法以及本文中提出的动态边界电场计算方法,对相同棒-板间隙电场分布进行了仿真并与试验所测场强进行了对比验证。电场计算所需输入量有：间隙距离D,棒电极形状参数(半径r,长度l),棒电极电压U。仿真参照文献[11]中棒-板间隙电场分步测量试验中的电压及间隙参数,设置D=1 m,r=1 cm,l=0.6 m,U=100 kV(直流电压)。仿真及试验结果如图2所示。

图1 棒-板间隙网格剖分 Fig.1 Gridding of rod-plane air gap

图2 电场强度计算结果比较 Fig.2 Comparisons of electric field calculation results

由图2可知,固定上边界电场强度计算方法所得间隙轴向电场强度计算值较试验值高约20~40 kV/m,动态上边界电场强度计算方法所得结果较试验值差距较小,为0~18 kV/m。可以看出,动态上边界电场强度计算对电场强度计算结果改善良好,本模型采用动态上边界电场强度计算方法对间隙Laplace场进行仿真。

冲击电压下棒-板间隙的流注起始时延由升压时延tc及统计时延ts构成,tc为从电压起始时刻升至流注起始所需最小电压的起始时间,ts为电压达到流注起始电压到棒-板间隙中有效电子产生所需要的时间。根据Peek公式,起始电压与棒极形状及间隙距离的关系如式(3)所示[12]

式中：Uc为流注起始电压,kV;E0=30 kV/cm为空气临界击穿场强;r为棒电极直径,cm;D为空气间隙距离,m;\(\delta \)为温度及气压系数,在标准大气条件下取1。根据式(3)可得,对1 m棒-板间隙,当棒电极直径为1 cm时,其流注起始电压为139 kV。

棒-板间隙流注放电统计时延与所加电压变化率及电极形状有关,其概率密度函数p(t)符合Rayleigh分布[13],如式(4)所示为

式中：k表征了电压变化率及电极形状对有效电子出现频率的影响,其值与电压变化率及棒电极直径有关。对雷电冲击电压下,冲击电压幅值为210~650 kV,棒电极直径为1 cm的棒-板间隙,取k=1~1.2。模型中的流注起始统计时延依照其概率密度函数获得。

综上所述,本模型中流注起始判据为

式中：tstart为流注起始时间;tc为升压时延;ts为统计时延;Erod为棒电极端部场强,kV/cm,E0为空气临界击穿场强,30 kV/cm;

根据分形介质击穿模型(DBM),放电通道的发展由电场分布和介质状态决定。间隙中某点的发展概率函数为

式中：\(Z=\sum\limits_{i,j}{|{{E}_{i,j}}{{|}^{\eta }}}\),(i,j)表示与网格节点(l,m)相邻的8个节点;Ei,j为节点(i,j)处的电场强度;\(\eta \)为概率指数,其取值与电压类型及电极形状有关,并直接影响到流注通道的分形维数。对于雷电冲击电压下1 m棒-板间隙的流注发展模型,本文取\(\eta \)=1~3[14]。.

棒-板间隙分形介质击穿模型中,物理时间的求取对于描述放电过程中的电场变化、电荷运动、能量转移等时间依赖过程具有重要意义。文献[8]通过引入时间转移系数\(\theta \),结合网格节点的生长率对物理时间进行了求取,放电通道在某一节点的速度与生长率成正比,所用时间与生长率呈反比例关系,分形流注通道每一步的生长时间为

\(\Delta {{t}_{i,j}}=\theta /Z=\theta /\sum\limits_{i,j}{|{{E}_{i,j}}{{|}^{\eta }}}\) (7)

式中\(\theta \)值根据试验值与仿真值的比较确定。其值依赖于特定试验的试验结果。

通过棒-板间隙雷电冲击放电试验的研究可知[15],不同电压等级及不同间隙距离时,流注放电时间具有很高的不确定性,因此\(\theta \)值的求取十分困难。为从机理上获得流注发展的时间参数,进一步研究空气间隙流注放电机理,本文提出了基于电荷累积动态变化的时间参数求取方法。

在流注放电过程中,空气间隙存在不断发展的多级电子崩,形成了对外表现为正极性的弱等离子体流注通道。流注通道内的电荷转移可由如下的欧姆定律和电流连续性方程进行描述：

\(J=\sigma E\) (8)

\(\partial \rho /\partial t=-\text{div}(J)\) (9)

式中：J为电流密度矢量;σ为流注通道电导率;ρ为流注通道内电荷密度;E为正极性流注通道内的平均电场强度,约为400~500 kV/m。联立式(8)及式(9),对于放电通道中的节点(i,j)构建电荷密度方程可得

\(\partial {{\rho }_{i,j}}/\partial t=-\sigma (\frac{\partial {{E}_{x(i,j)}}}{\partial x}+\frac{\partial {{E}_{y(i,j)}}}{\partial y})\) (10)

式中：Ex(i,j)和Ey(i,j)分别为Ei,j在x及y方向的分量。将每步流注发展过程中电荷密度看做时间t的一次函数,对于棒-板间隙的某点(i,j)构建电荷累积差分方程可得

\({{\rho }_{i,j}}=-\frac{\sigma }{2}(\frac{{{E}_{x(i,j)}}\text{+}{{E}_{y(i,j)}}-{{E}_{x(i,j-1)}}-{{E}_{y(i-1,j)}}}{h})\Delta t\) (11)

(i,j)点的电位为其背景电位和电荷电位的叠加。设在t0时刻,流注未发展到(i,j)点,(i,j)点电位为\({{\varphi }_{0}}\),在t0+t时刻,流注发展到(i,j)点,其电位变为

\({{\varphi }_{1}}=\varphi {}_{0}-Ed\) (12)

式中d为新增流注的长度,m。又由式(1)、(2),节点的电荷密度可通过式(13)得出

\({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{0}}={{h}^{2}}\frac{{{\rho }_{i,j}}}{4{{\varepsilon }_{0}}}\) (13)

则联立式(11)和(13)可得

通过求解式(14),即可得到流注放电模型中每一步通道发展所需的放电时间\(\Delta t\)及电荷增量\(\Delta \varphi \)。进而得到整个放电过程的电场,电荷等放电特性。

雷电冲击电压下,1 m棒-板间隙的放电电压约为540 kV。当雷电冲击电压小于间隙的放电电压而大于流注的起始电压时,间隙中有流注产生但不会被击穿,这时间隙中流注发展到一定的长度后会停止发展。

一定电压下间隙中流注发展的长度Zl可由图3所示方法求得[16]。图中,U1(Z)为空气间隙背景电位轴向分布曲线,U2(Z)为流注区域轴向电位分布曲线,其斜率为流注区平均场强,400~500 kV/m。两线交点所对应的横坐标Zl,即为棒极电压为Urod时流注发展的轴向长度。

根据以上理论,可得出在棒-板间隙流注停止发展位置,其电位符合

\({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{0}}=0\) (15)

结合式(13),得出本模型流注停止发展判据为

\({{\rho }_{i,j}}=0\) (16)

运用基于电荷累积的正极性棒-板间隙动态流注放电模型,对1 m棒-板间隙流注放电过程进行仿真,其中,棒电极长度0.6 m,直径1 cm,所加雷电冲击电压波形为2.0/50 μs,未击穿时幅值为230 kV,击穿时幅值为590 kV。仿真流注动态发展如图4、5所示,流注动态发展长度如图6所示。流注发展特性如表1所示,发展过程验证如表2所示。试验及仿真条件为标准大气条件。对比可得,流注发展特性仿真数据具有合理性。

图3 流注停止位置 Fig.3 Stop site of steamer

图4 230 kV雷电冲击流注动态发展 Fig.4 Dynamic streamer under 230 kV lightning impulse voltage

图5 590 kV雷电冲击流注动态发展 Fig.5 Dynamic streamer under 590 kV lightning impulse voltage

图6 雷电冲击电压下流注轴向长度 Fig.6 Axial streamer length under lightning impulse voltage

表1 流注发展特性仿真结果 Table 1 Results of streamer development characteristics simulation

对于230 kV雷电冲击电压放电过程,选取离棒极30 cm轴线位置,仿真得到了其电场曲线及试验得出的同样条件下电场波形如图7所示[17-19]。仿真值及试验值比较结果如表3所示。

由图7及表3可得,仿真电场波形流注起始时间与试验测量波形1相差 表2 流注发展特性仿真结果验证 Table 2 Verification of streamer development characteristics simulation results

表3 间隙电场波形仿真结果验证 Table 3 Verification of air gap electric field simulation results

图7 雷电冲击下电场波形对比 Fig.7 Comparison of electric field under lightning voltage

运用本模型,得到了230 kV及590 kV冲击电压下,流注通道电荷累积的动态变化,如图9所示。

对于230 kV冲击电压,其流注通道电荷量随通道长度的发展而增多,流注停止发展后,电荷总量达到23.2 μC,此时电荷增长速度为0;对于590 kV冲击电压,流注通道电荷量不断增加,末跃阶段电荷增长率显著提高,整个击穿过程流注电荷累积总量为258.3 μC,符合试验得出的长空气间隙放电电荷累积总量为10-4 C数量级的结论[22]。

图8 590 kV雷电冲击下电场仿真波形 Fig.8 Simulation wave of air gap electric field under 590 kV lightning impulse voltage

图9 雷电冲击下电荷累积仿真结果 Fig.9 Simulation results of charge accumulation under lightning impulse voltage

1）运用基于动态边界条件的棒-板间隙电场计算方法,对100 kV棒极电压下1 m棒-板间隙电场分布进行了仿真,结果表明,新的电场计算方法与试验测量值之间误差小于固定边界条件电场计算

误差。

2）运用本文建立的模型对1 m棒-板间隙流注放电过程进行仿真。在230 kV雷电冲击电压下,流注发展长度为20 cm,流注发展时间为5.02 μs,流注发展平均速度为3.98\(\times \)104 m/s;雷电冲击电压为590 kV时,1 m棒-板间隙被击穿,流注发展时间为9.92 μs,流注发展平均速度为1.01\(\times \)105 m/s,击穿前其速度达到1.60\(\times \)105 m/s。仿真结果与试验数据非常相符。

3）对1 m棒-板间隙进行了电场动态变化仿真,得到了230 kV雷电冲击电压下,距离棒极30 cm轴线处电场波形并与试验值进行对比,分析了仿真结果与试验波形存在误差的原因;对590 kV雷电冲击电压下距离棒极20 cm、70 cm轴向位置处的电场变化进行仿真并对比了试验数据。结果证明本模型空气间隙流注放电过程中的电场仿真结果具备合理性。

4）运用模型仿真了1 m棒-板间隙流注通道电荷累积的动态变化。230 kV冲击电压下,流注通道电荷累积总量达到23.2 μC;590 kV冲击电压下,整个击穿过程流注电荷累积总量为258.3 μC,符合试验得出的长空气间隙放电电荷累积总量为10-4 C数量级的结论。经验证,本文提出的电荷累积运算方法及时间参数求取方法具有较高的合理性。

5)目前,分形介质击穿理论尚未应用于先导放电机理研究及仿真建模。对于长间隙距离的棒-板间隙放电先导放电过程,已有理论认为,其先导长度的发展依赖于先导头部流注区及电晕云区域的电荷累积,本模型提出的分形模型流注电荷累积计算方法,为分形介质击穿理论在先导放电中的应用提供了可能。

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