【算法竞赛学习笔记】后缀自动机SAM

title : 后缀自动机 date : 2021-11-11 tags : ACM,字符串 author : Linno

KMP，Trie，AC自动机等字符串基础

DFA（有限状态自动机）

字符串s的SAM是一个接受s的所有后缀的最小DFA（确定性有限自动机）。直观上SAM是给定字符串的所有字串的压缩形式。而构造的时间复杂度和空间复杂度仅为 O ( n ) O(n) O(n)。一个SAM最多有2n-1个节点和3n-4条转移边。

endpos(t)为字符串s中t的所有结束位置，endpos的集合即为SAM的状态集

subs(sta)：SAM中sta状态所包含的所有子串的集合

mxsub(sta)：sta状态所包含的子串中最长的子串

mnsub(sta)：sta状态所包含的子串中最短的子串

sz[i]：sta表示的endpos集合大小，即i号点字符串集合在整个串出现次数

nxt(sta)：sta遇到的下一个字符集合

link(sta):

状态数：不超过2n-1

转移数：不超过3n-4

D A G 性 质 DAG性质 DAG性质：SAM是有向无环图，因此可以用DP计算路径条数。

状态集：所有endpos的集合即为SAM的状态集。

n x t ( s t a ) = { S [ i + 1 ] ∣ i ∈ e n d p o s ( s t a ) } nxt(sta)=\{S[i+1]|i\in endpos(sta)\} nxt(sta)={ S[i+1]∣i∈endpos(sta)}

t r a n s ( s t a , c ) = { x ∣ m x s u b ( s t a + ( c ∈ s u b s ( x ) ) } trans(sta,c)=\{x|mxsub(sta+(c\in subs(x))\} trans(sta,c)={ x∣mxsub(sta+(c∈subs(x))}

sta状态链接到下一个连续后缀所在的状态，叫做后缀链接。

用一个点的集合以及长度len来描述一个子串

两 个 非 空 子 串 u 和 w ( 假 设 ∣ u ∣ ≤ ∣ w ∣ ) 的 e n d p o s 相 同 ， 当 且 仅 当 字 符 串 u 是 w 的 后 缀 。 两个非空子串u和w(假设|u|\leq|w|)的endpos相同，当且仅当字符串u是w的后缀。 两个非空子串u和w(假设∣u∣≤∣w∣)的endpos相同，当且仅当字符串u是w的后缀。

对于任意一个状态 s t a sta sta,任取 s t r ∈ s u b s ( s t a ) str\in subs(sta) str∈subs(sta),都有 s t r str str是 m x s u b ( s t a ) mxsub(sta) mxsub(sta)的后缀。

例如：subs(7)={aabbab,abbab,bbab,bab}

任取一个字符串str,str是mxsub(7)=aabbab的后缀。

SAM中一个状态所包含的子串的集合是由长度连续的一系列字符串构成，并且由长到短，依次减少最前面的字符。

两个非空子串u和w(假设 ∣ u ∣ ≤ ∣ w ∣ |u|\leq|w| ∣u∣≤∣w∣)，要么 e n d p o