浮点数加法器设计

根据浮点数的运算规则和IEEE754标准，实现浮点数的加法运算器。

浮点数即实数，实数是所有有理数和无理数的集合。它之所以被称作浮点数，是因为小数点在数中的位置并不是固定的。一个浮点数值分为两部分存储：数值以及小数点在数值中的位置。

计算机中的浮点运算的计算结果一般是不确定的，一块芯片的浮点运算结果可能和另一块芯片的运算结果是不一样的。

科学计数法用来表示很大或很小的数。

十进制浮点数可以表示为： 尾 数 × 1 0 指 数 ， 如 1.23456 × 1 0 20 尾数×10^{指数}，如1.23456×10^{20} 尾数×10指数，如1.23456×1020

二进制浮点数可以表示为： 尾 数 × 2 指 数 ， 如 1.00011 × 2 5 尾数×2{指数}，如1.00011×2^{5} 尾数×2指数，如1.00011×25

IEEE 754浮点数标准提供3中浮点数表示：32位单精度浮点数、64位双精度浮点数、128位四精度浮点数。这里设计浮点加法器主要用32位单精度浮点数，想要实现64位或者128位浮点数的加法，它们的原理和32位单精度浮点数的加法器是类似的。

IEEE 754浮点数的尾数总是规格化的，其范围为 1.000...0 × 2 e − 1.111...1 × 2 e 1.000...0×2^e - 1.111...1×2^e 1.000...0×2e−1.111...1×2e，e为指数。

规格化浮点数的最高位总是1，规格化使尾数的所有位都是有效的，因而尾数精度更高。

如： 0.10... × 2 e 规 格 化 为 1.10... × 2 e − 1 10.1... 2 e 规 格 化 为 1.01... × 2 e + 1 0.10...×2^e规格化为1.10...×2^{e-1}\\10.1...2^e规格化为1.01...×2^{e+1} 0.10...×2e规格化为1.10...×2e−110.1...2e规格化为1.01...×2e+1

尾数规格化充分利用了可用的最大精度。如，一个8位非规格话的尾数0.0000101只有4位有效位，而规格化后的8位尾数1.0100011则有8位有效位。

IEEE 754浮点数的尾数被表示为符号及值的形式，即用一个符号位表示它是正数还是负数。它的指数则用偏置方式表示，即给真正的指数加上一个常数。

已知32位单精度浮点数的指数部分是8位，则偏置值为127。如果一个数的指数为0，则被保存为 0 + 127 = 127 0+127=127 0+127=127。如果指数为-2，则被保存为 − 2 + 127 = 125 -2+127=125 −2+127=125。

实数1010.1111规格化的结果为 1.010111 × 2 3 1.010111×2^3 1.010111×23，指数为3，将被保存为 3 + 127 = 130 3+127=130 3+127=130。

这种用偏置表示指数的方法优点在于：最小的负指数被表示为0，如果不采用这种方法，0的浮点表示为 0.0...0 × 2 最 小 负 指 数 0.0...0×2^{最小负指数} 0.0...0×2最小负指数 。采用偏置指数。0就可以用尾数0和指数0表示：

一个32位IEEE 754单精度浮点数可以被表示为下面的二进制串：

S EEEEEEEE 1.MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

S作为符号位，决定了数的符号，若S=0，则为正数，若S=1，则为负数。指数E将浮点数的尾数扩大或缩小 2 E 2^E 2E 倍，并且偏置值为127。

如浮点数 1.11001...0 × 2 12 1.11001...0×2^{12} 1.11001...0×212的指数为 12 + 127 = 13 9 10 = 1000101 1 2 12+127=139_{10}=10001011_2 12+127=13910​=100010112​

IEEE浮点数的尾数总是规格化的，其值范围在 1.0000..00 − 1.1111..11 1.0000..00-1.1111..11 1.0000..00−1.1111..11 ，除非这个浮点数是0，此时尾数为 0.000..00 0.000..00 0.000..00。

由于尾数总是规格化的，且最高位总是为1，因此将尾数存入存储器时没有必要保存最高位的1。所以，一个非0的IEEE 754浮点数可被定义为： X = ( − 1 ) S × 2 E − B × 1. F X=(-1)^S×2^{E-B}×1.F X=(−1)S×2E−B×1.F ，其中：

ps：浮点数0被表示为S=0，E=0，M=0（即浮点数0用全0表示）

IEEE 754标准定义了基本的和扩展的浮点数格式，以及一组数量有限的算术运算的规则（加、减、乘、除、平方根、求余和比较）。

非数（Not a Number，NaN）是IEEE 754标准提供的一个专门的符号，表示IEEE 754标准格式所不能表示的数。

在32位IEEE 754单精度浮点数格式中，最大指数 E m a x E_{max} Emax​为127，最小指数 E m i n E_{min} Emin​为-126，而不是 − 127 至 128 -127至128 −127至128。 E m i n − 1 ( 即 − 127 ) E_{min-1}(即-127) Emin−1​(即−127)用来表示浮点0， E m a x + 1 （ 即 128 ） E_{max}+1（即128） Emax​+1（即128）用来表示正/负无穷大或NaN数。

下图，描述了IEEE单精度浮点数格式，指数E=0和E=255等特例分别被用于表示浮点0，非规格化效数、正/负无穷大、以及NaN：

（1）浮点数接近0时的特点，下图描述了一个指数2位，尾数为2位的浮点数系统。浮点数0表示00 000，下一个规格化的正数表示为00 100（即 2 − b × 1.00 2^{-b}×1.00 2−b×1.00，b为偏置常数）：

浮点数0附近有一块禁止区，其中的浮点数都是非规格化的，因此无法被表示为IEEE标准格式。这个数的指数和起始位都是0的区域，也可用来表示浮点数。但是这些数都是非规格化的，其精度比规格化的精度低，会导致渐进式下溢。

（2）IEEE标准规定，缺省的舍入技术应该向最近的值舍入。

（3）IEEE标准规定了4种比较结果，分别是等于、小于、大于和无序，无序用于一个操作数是NaN数的情景。

（4）IEEE标准规定了5种异常：

浮点数不能直接运算。

以一个简单的8位尾数和一个未对齐的指数为例说明浮点运算， A = 1.0101001 × 2 4 A=1.0101001×2^4 A=1.0101001×24， B = 1.1001100 × 2 3 B=1.1001100×2^3 B=1.1001100×23。若要计算两个数的成绩，应将尾数相乘，指数相加： A ⋅ B = 1.010100 × 2 4 × 1.1001100 × 2 3           = 1.0101001 × 1.1001100 × 2 3 + 4           = 1.000011010101100 × 2 8 A·B=1.010100×2^4× 1.1001100×2^3\\~~~~~~~~~=1.0101001×1.1001100×2^{3+4}\\~~~~~~~~~=1.000011010101100×2^8 A⋅B=1.010100×24×1.1001100×23         =1.0101001×1.1001100×23+4         =1.000011010101100×28

由于IEEE标准下的浮点操作数已被表示为规格化形式，计算机在进行浮点加法时，为了对齐指数，计算机必须执行下面步骤：

所以得到A+B的运算

注意：

（1）因为IEEE754标准的32位单精度浮点数的指数与尾数位于位于同一个字中，所以在加法过程开始之前必须将它们分离开。

（2）如果两个指数的差大于p+1，p为尾数的位数，这里p=23，较小的数由于太小而无法影响较大的数，结果实际就等于较大的数。

（3）结果规格化时检查指数范围，以分别检测指数下溢或上溢。指数下溢会导致结果为0，而指数上溢出会造成错误。

浮点运算可能引起尾数位数的相加，需要保持尾数位数不变的方法。最简单的技术叫作截断。

比如将0.1101101截断为4位尾数的结果为0.1101。截断会产生诱导误差（即误差是由施加在数上的操作计算所引起的），诱导误差是偏差的，因为截断后的数总比截断钱小。

舍入是一种更好的减少数的尾数的技术。如果舍弃的位的值大于剩余数的最低位的一半，将剩余数的最低位+1。

比如：

（1）最简单的舍入机制是截断或向0舍入。

（2）向最近的数舍入：选择距离该数最近的那个浮点数作为结果。

（3）向正或负无穷大舍入：选择正或负无穷大方向上最近的有效浮点数作为结果。

（4）向偶数舍入：当要舍入的数位于两个连续浮点数的正中时，IEEE舍入机制选择最低位为0的点（即向偶数舍入）

舍入机制将在后面基本原理与设计部分重点解释。

定义接口部分：时钟信号clk，复位信号rst，输入[31:0]宽的加数x和被加数y，输出[31:0]宽的结果z，[1:0]宽的溢出标志overflow。

其中overflow=2’b00：没有溢出; overflow=2’b01：上溢; overflow=2’b10：下溢; overflow=2’b11：输入不是规格化数

定义[24:0]宽的尾数部分m_x,m_y,m_z：IEEE 754标志的32位单精度浮点数的尾数本身是23位宽的，但是再尾数相加的时候要考虑到隐含的1，并且还需要考虑进位，所以设定为25位宽的数组来存储的尾数。

定义[7:0]宽的指数部分exponent_x,exponent_y,exponent_z。

定义符号部分sign_z,sign_x,sign_y。

这里实现的是多周期的单精度浮点加法器，所以考虑到需要状态机，所以设定[2:0]宽的state_now,state_next分别表示当前状态和下一个状态，并且设定start = 3’b000（start是初始化阶段）,zerocheck = 3’b001（zerocheck是检查x=0或y=0阶段）,equalcheck = 3’b010（equalcheck对阶阶段）,addm = 3’b011（addm是尾数相加阶段）,normal = 3’b100（normal是规格化尾数阶段）,over = 3’b110（over是判断溢出阶段，此阶段同时输出结果部分）;

由于需要进行对偶数舍入所以这里设定[24:0]宽的尾数移出部分out_x,out_y来存储x与y右移出尾数的部分（相对顺序不变），设定[24:0]宽的最低位的一半的部分mid_x,mid_y来存储x与y尾数的最低有效位的一半，设定[2:0]宽的大小标志bigger（如果exponent_x>exponent_y，则bigger=2’b01;如果exponent_xexponent_y)begin ...//y的尾数右移动阶段，并且记录移出的部分 if(m_y==24'b0)begin//如果x和y的节码差距过大，就不需要考虑太小的 sign_z