我知道 ∑n，∑n²，∑n³ 的结果，那是否能够求出 ∑n^k（k 为正整数）的一般形式通项公式？

这种问题在我曾经办过的一次网络数学竞赛里是作为压轴题的，虽然这道压轴题并不难，但是给出了计算所有 n^k 前n项和的方法：二重求和换序。

这里先直接放出关于这个问题的部分截图：

题干以及第一问已经完全解决了这个问题，一次求和可以推出二次求和，进而三次、四次、······都是没有问题的。

上述方法还可以概括如下：

\begin{align} \\ &\text{由于}k^3-\left( k-1 \right) ^3=3k^2-3k+1, \text{因此} \\ &\sum_{k=1}^n{\left( 3k^2-3k+1 \right)}=n^3, \text{进而} \\ &\color{red}{\sum_{k=1}^n{k^2}=\frac{1}{3}\left[ n^3+\sum_{k=1}^n{\left( 3k-1 \right)} \right] =\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n.} \\ \\ &\text{由于}k^4-\left( k-1 \right) ^4=4k^3-6k^2+4k-1, \text{因此} \\ &\sum_{k=1}^n{\left( 4k^3-6k^2+4k-1 \right)}=n^4, \text{进而} \\ &\color{red}{\sum_{k=1}^n{k^3}=\frac{1}{4}\left[ n^4+\sum_{k=1}^n{\left( 6k^2-4k+1 \right)} \right] =\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2.} \\ \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \end{align}

上述方法是一种递推方法，虽然前几项计算方便，但是越往后计算量越大，后面的计算需要前面的结论作为铺垫。笔者推荐下面要讲的伯努利公式，每个和式都能独立求出。

事实上，这种问题在我国古代属于著名的垛积数列问题：

\begin{align} \\ &\sum_{k=1}^n{k}=\frac{1}{2!}n\left( n+1 \right) \\ &\sum_{k=1}^n{\frac{1}{2!}k\left( k+1 \right)}=\frac{1}{3!}n\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) \\ &\sum_{k=1}^n{\frac{1}{3!}k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right)}=\frac{1}{4!}n\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) \left( n+3 \right) \\ &\sum_{k=1}^n{\frac{1}{4!}k\left( k+1 \right) \left( k+2 \right) \left( k+3 \right)}=\frac{1}{5!}n\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) \left( n+3 \right) \left( n+4 \right) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ &\sum_{k=1}^n{\frac{1}{p!}k\left( k+1 \right) \cdots \left( k+p-1 \right)}=\frac{1}{\left( p+1 \right) !}n\left( n+1 \right) \cdots \left( n+p \right) \\ \\ &\text{我们约定}\left( n \right) _k:= n\left( n+1 \right) \cdots \left( n+k-1 \right) , \text{于是} \color{red}{\sum_{k=1}^n{\frac{\left( k \right) _p}{p!}}=\frac{\left( n \right) _{p+1}}{\left( p+1 \right) !}} \\ \end{align}

下面讲伯努利公式：

Bernoulli formula

\begin{align} \\ &\text{设}f\left( x \right) 是\text{关于}x\text{的多项式函数}, \text{称}f\left( x+1 \right) -f\left( x \right) 为f\left( x \right) \text{的差分}\Delta f\left( x \right) . \\ &\Delta ^2f\left( x \right) =\Delta \left[ f\left( x+1 \right) -f\left( x \right) \right] =f\left( x+2 \right) -2f\left( x+1 \right) +f\left( x \right) 是f\left( x \right) \text{的二阶差分}. \\ &\text{以此类推}, f\left( x \right) \text{的}r\text{阶差分}\Delta ^rf\left( x \right) 是\Delta ^{r-1}f\left( x \right) \text{的差分}. \\ &\text{各项正负交替出现}, \text{且系数的绝对值构成组合数}: \\ &\color{blue}{\Delta ^rf\left( x \right) =f\left( x+r \right) -\left( \begin{array}{c} r\\ 1\\ \end{array} \right) f\left( x+r-1 \right) +\left( \begin{array}{c} r\\ 2\\ \end{array} \right) f\left( x+r-2 \right) +\cdots +\left( -1 \right) ^rf\left( x \right)} , \\ &\text{其中}\left( \begin{array}{c} n\\ m\\ \end{array} \right) \text{表}示\text{组合数C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!\left( n-m \right) !}=\frac{\left( 1 \right) _n}{\left( 1 \right) _m\left( 1 \right) _{n-m}}. \\ \\ &\color{red}{\mathbf{伯努利公式}\left( \mathbf{Bernoulli}\,\,\mathbf{formula} \right)} \\ &\text{对于m次多项式函数}f\left( x \right) , \\ &\ \ \ \color{red}{\sum_{k=1}^n{f\left( k \right)}=\left( \begin{array}{c} n\\ 1\\ \end{array} \right) f\left( 1 \right) +\left( \begin{array}{c} n\\ 2\\ \end{array} \right) \Delta f\left( 1 \right) +\left( \begin{array}{c} n\\ 3\\ \end{array} \right) \Delta ^2f\left( 1 \right) +\cdots +\left( \begin{array}{c} n\\ m+1\\ \end{array} \right) \Delta ^{m}f\left( 1 \right)} \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}{=\sum_{k=1}^{m+1}{\left( \begin{array}{c} n\\ k\\ \end{array} \right) \Delta ^{k-1}f\left( 1 \right)}}. \\ \end{align}

我们一般采用列差分表的方法来计算高阶差分：

f\left( 1 \right)\ \ \ \ \ \ f\left( 2 \right)\ \ \ \ \ \ f\left( 3 \right)\ \ \ \ \ \ f\left( 4 \right)\ \ \ \ \ \ f\left( 5 \right)\ \ \ \ \ \cdots \\ \Delta f\left( 1 \right)\ \ \ \Delta f\left( 2 \right)\ \ \ \Delta f\left( 3 \right)\ \ \ \Delta f\left( 4 \right)\ \ \ \ \cdots \\ \,\, \Delta ^2f\left( 1 \right)\ \ \Delta ^2f\left( 2 \right)\ \ \Delta ^2f\left( 3 \right)\ \ \ \ \ \cdots \\ \,\, \Delta ^3f\left( 1 \right)\ \ \ \Delta ^3f\left( 2 \right)\ \ \ \ \ \cdots \\ \,\, \Delta ^4f\left( 1 \right)\ \ \ \ \cdots

伯努利公式可以解决所有多项式函数的求和问题，以 \sum_{k=1}^n{k^3} 和 \sum_{k=1}^n{k^5} 为例：

\begin{align} \\ &\sum_{k=1}^n{k^3}=\left( \begin{array}{c} n\\ 1\\ \end{array} \right) +7\left( \begin{array}{c} n\\ 2\\ \end{array} \right) +12\left( \begin{array}{c} n\\ 3\\ \end{array} \right) +6\left( \begin{array}{c} n\\ 4\\ \end{array} \right) =\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2. \\ &\sum_{k=1}^n{k^5}=\left( \begin{array}{c} n\\ 1\\ \end{array} \right) +31\left( \begin{array}{c} n\\ 2\\ \end{array} \right) +180\left( \begin{array}{c} n\\ 3\\ \end{array} \right) +390\left( \begin{array}{c} n\\ 4\\ \end{array} \right) +360\left( \begin{array}{c} n\\ 5\\ \end{array} \right) +120\left( \begin{array}{c} n\\ 6\\ \end{array} \right) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{6}n^6+\frac{1}{2}n^5+\frac{5}{12}n^4-\frac{1}{12}n^2. \\ \end{align}

再比如计算 \sum_{k=1}^n{\left( k^2+k+3 \right) ^2} ，运用伯努利公式得到：

\begin{align} \\ &\sum_{k=1}^n{\left( k^2+k+3 \right) ^2}=25\left( \begin{array}{c} n\\ 1\\ \end{array} \right) +56\left( \begin{array}{c} n\\ 2\\ \end{array} \right) +88\left( \begin{array}{c} n\\ 3\\ \end{array} \right) +72\left( \begin{array}{c} n\\ 4\\ \end{array} \right) +24\left( \begin{array}{c} n\\ 5\\ \end{array} \right) \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{5}n^5+n^4+\frac{11}{3}n^3+7n^2+\frac{197}{15}n. \\ \end{align}

详情参见：

这个链接文中的伯努利公式有点小笔误，以本次回答为准。