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2次不定方程式
整数(入試の標準) ★★★ 2次不定方程式について一通り扱います. 1次不定方程式とは解法が異なります. 目次 1: 2次不定方程式と解法 2: 例題と練習問題 2次不定方程式と解法$x$,$y$ の2次方程式(係数は整数.$a$,$b$,$c$ のいずれかが $0$ でない ) $ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+g=0$ を扱います.(2元)2次不定方程式ということが多いようです.$a=c=0$ のタイプなら検定教科書にある場合がありますが,高校数学としては発展的とすることが多いようです(そのため入試にあまり出ない). よくある解法を紹介します. 2次不定方程式の解法 (ⅰ) $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数を作る (ⅱ) $( \ )^{2} \geqq 0$ 等で範囲を絞る (ⅲ) 判別式 $D \geqq0$ で範囲を絞る 基本は(ⅰ)の方法で,$()$ が右辺の整数の約数になることに注目して解くことが多いです. (ⅲ)は(ⅰ),(ⅱ)が厳しい場合の手段です.どちらかの文字の2次方程式とみて判別式で範囲を絞ります. 2次曲線大学の線形代数での話 大学の線形代数での話 発展的な話ですが $ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+g=0$ は一般に2次曲線といいます.この2次曲線がどういう図形になるかは,係数で構成された行列で判定できます. 結果的には,楕円,双曲線,1点,交わる2直線,放物線,平行2直線,1直線のどれかの図形になります.楕円になる場合は $x$,$y$ ともに範囲が有限なので,(ⅲ)の判別式で絞る作戦が有効なことが多いです.求める整数解はその楕円周上の格子点になりますね. 整数解でなく自然数解の場合は,さらに有限になることが多いので式を見て判断します. 例題と練習問題 例題例題 (1) 方程式 $xy-2x-6y=1$ の整数解をすべて求めよ. (2) ① $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$ を因数分解せよ. ② 方程式 $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-8=0$ の自然数解をすべて求めよ. 講義 基本的には式変形で $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数の形を作ります. (2)の②は①を利用します.$x$,$y$ が自然数なので,因数の範囲に注意すると楽です. 解答 (1) $xy-2x-6y=1$ $\Longleftrightarrow \ (x-6)(y-2)-12=1$ $\Longleftrightarrow \ (x-6)(y-2)=13$ ← $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数 これより $(x-6,y-2)=(13,1)$,$(1,13)$,$(-13,-1)$,$(-1,-13)$ 求める整数解は $\boldsymbol{(x,y)=(19,7),(7,15),(-7,1),(5,-9)}$ ※ もし $y$ について解くと $y=\dfrac{13}{x-6}+2$ となり,分数関数(双曲線)とわかります.この分数関数上の格子点を答えていることになります. (2)① $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$ $=2x^{2}+(1-5y)x-3y^{2}+11y-6$ $=2x^{2}+(1-5y)x-(3y^{2}-11y+6)$ $=2x^{2}+(1-5y)x-(3y-2)(y-3)$ $=\{2x+(y-3)\}\{x-(3y-2)\}$ $=\boldsymbol{(2x+y-3)(x-3y+2)}$ ※ 因数分解の例題と同じ問題です. ② $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-8=0$ $\Longleftrightarrow \ 2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6=2$ $\Longleftrightarrow \ (2x+y-3)(x-3y+2)=2$ ← $\boldsymbol{( \ )( \ )=}$ 整数 $2x+y-3\geqq 2+1-3=0$ より $(2x+y-3,x-3y+2)=(2,1)$,$(1,2)$ 求める自然数解は $\boldsymbol{(x,y)=(2,1)}$ 練習問題練習 (1) 方程式 $xy-3x+2y=12$ の自然数解をすべて求めよ. (2) ① $3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-15$ を因数分解せよ. ② 方程式 $3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-28=0$ の自然数解をすべて求めよ. (3) 方程式 $x^{2}+2xy+3y^{2}=17$ の整数解をすべて求めよ. (4) 方程式 $5x^{2}+2xy+y^{2}-4x+4y+7=0$ の整数解をすべて求めよ. 練習の解答 (1) $xy-3x+2y=12$ $\Longleftrightarrow \ (x+2)(y-3)=6$ $x+2\geqq 3$ より $(x+2,y-3)=(6,1)$,$(3,2)$ 求める整数解は $\boldsymbol{(x,y)=(4,4),(1,5)}$ (2)① $3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-15$ $=3x^{2}+(4y+4)x-4y^{2}-16y-15$ $=3x^{2}+(4y+4)x-(4y^{2}+16y+15)$ $=3x^{2}+(4y+4)x-(2y+3)(2y+5)$ $=\{3x-(2y+5)\}\{x+(2y+3)\}$ $=\boldsymbol{(3x-2y-5)(x+2y+3)}$ ② $3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-28=0$ $\Longleftrightarrow \ 3x^{2}+4xy-4y^{2}+4x-16y-15=13$ $\Longleftrightarrow \ (3x-2y-5)(x+2y+3)=13$ $x+2y+3\geqq 6$ より $(3x-2y-5,x+2y+3)=(1,13)$ 求める自然数解は $\boldsymbol{(x,y)=(4,3)}$ (3) $x^{2}+2xy+3y^{2}=17$ $\Longleftrightarrow \ (x+y)^{2}=17-2y^{2}\geqq 0$ $y$ は整数なので,$y=0,\pm1,\pm2$ だが,$17-2y^{2}$ が平方数となるのは $y=\pm 2$,$x+y=\pm3$ (複合任意) より求める整数解は $\boldsymbol{(x,y)=(1,2),(-5,2),(5,-2),(-1,-2)}$ ※ $x$ の2次方程式とみて判別式で絞っても同じですが,上の方法が楽です. (4) $5x^{2}+2xy+y^{2}-4x+4y+7=0$ $\Longleftrightarrow \ y^{2}+(2x+4)y+5x^{2}-4x+7=0$ $\dfrac{D}{4}$ $=(x+2)^{2}-(5x^{2}-4x+7)$ $=-4x^{2}+8x-3\geqq 0$ $\Longleftrightarrow \ 4x^{2}-8x+3\leqq 0$ $\Longleftrightarrow \ (2x-3)(2x-1)\leqq 0$ $\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{2}\leqq x\leqq \dfrac{3}{2}$ これより $x=1$.元の式に戻すと $y^{2}+6y+8=0$ これを解くと $y=-4,-2$.求める整数解は $\boldsymbol{(x,y)=(1,-4),(1,-2)}$ ※ 最初に $x$ の2次方程式とみて判別式をとってもうまく絞り込めないです. ノートに戻る |
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