6.1.4求导法则及其应用 课件（共22张PPT）

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6.1.4求导法则及其应用 下面我们就来学习一些常用的求导法则吧! 在导数的学习过程中，我们经常要使用一些复杂函数 （非基本初等函数）的导数，如函数????(????)=????????????+????, ????(????)=????????????????????, ????(????)=????????????????等，如果能找到快速求解这 些复杂函数的导数的办法，意义重大. ? 1.掌握导数的四则运算法则.（重点） 2.会应用导数的四则运算法则求复杂函数的导数. （重点） 设????????=????2，?????????=????， 思考1：函数????????和????????的导数分别是什么？ ? 探究点1 函数和（或差）的求导法则 思考2：令?????=????????+????????，求?????的导数. ? ????′????=2????,????′????=1 ? 因为?????=????????+????????=????2+???? ? 所以?′????=2????,????′????=1 ? 所以?′???? =?????????????????→0?????+???????(????)?????=?????????????????→01+2????+?????=2????+1. ? 思考3：猜测?′???? 与????′????，????′????的关系并给出证明. ? ?′???? =????′????+????′????=(????2)′ +(????)′=2????+1. ? 猜测： 设?????=????????+????????，则 ???????=?????+???????(????)?????=????????+?????+????????+??????[????????+????????]????? =????????+??????????????+[????????+??????????????]?????=??????????+??????????， 所以?????→0????????????????????=?????→0???????????????????????+??????????=?????→0???????????????????????+?????→0???????????????????????， 即?????′=????????′+????????′. ? 证明： 一般的如果????????与?????????都可导，则 即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和. ? 函数和（或差）的求导法则： ????????+????????′=????′(????)+????′(????) ? 类似地，如果????????，?????????都可导，则 即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差. ? ?????????????????′=????′(????)?????′(????) ? 上述法则可以推广到任意有限个函数，即 ????1????±????2????±…±????????????′=????1′????± ????2′????±…±????????′????. ? 即时训练：求下列导数 （1）(????3+????2)′ ; （2）(?????????????????????????????????+2)′ ? 解原式= (????3)′+(????2)′ ? =3????2+2???? ? 解原式= (????????????????)′?(????????????????)′+2′ ? =????????????????+???????????????? ? 探究点2 函数积的求导法则 设????????=????，?????????=????2， 思考1：[????????????????]′=????′(????)????′(????)成立吗？说明理由. ? 【解析】不成立，理由如下： ?????????????????=????3，因此 ????????????????′=3????2， ????′????=1，????′????=2????，因此 ????′????????′????=2????， 即fxgx′≠????′????????′????. ? 思考2：如果????????，????????都可导，你认为???????????????? 的导数与????′????，????′????有什么关系？ ? 事实上，可以证明，当????????，????????都可导时，有 即，两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数. ? ????????????????′=????′????????????+????(????)????′???? ? 由上述法则立即可以得出 即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数. ????????????′=????????′???? ? 函数积的求导法则： 即时训练：求下列导数 （1）(????2?????)′ ; （2）(????????????????????????????????)′ ; (3) (????2????????)′; （4）(3????2)′ ? （1）解原式= (????2)′????+????2(????)′ ? =2?????????+????2?1 ? =3????2 ? （2）解原式 =(sinx)′cosx+sinx(cosx)′ ? =cos2x?sin2x ? =cos2x ? （3）解原式= (????2)′????????+????2(????????)′ ? =2????????????+????2???????? ? =(2????+????2)???????? ? （4）解原式 =3(????2)′ ? =3?2???? ? =6???? ? 例1.求下列函数的导数. （1）????(????)=2????3+3?????1；（2）????=???????????????????? ? 解：（1）????′????= ? (2????3)′+(3????)′?1′ ? =2×3????2+3×1 ? =2(????3)′+3(????)′ ? =6????2+3 ? （2）????′=????′????????????????+????(????????????????)′ ? =????????????????+???????????????????? ? 探究点3 函数商的求导法则 设????????=????2，?????????=????， 思考1：[????????????????]′=????′(????)????′(????)成立吗？说明理由. ? 【解析】不成立，理由如下： ????????????????=????2????=????，因此 ????????????????′=(????)′=1， ????′????????′????=2????1=2????， 即????????????????′≠????′????????′????. ? 思考2:如果????????，????????都可导，且????????≠0，????′????≠0，你认为????????????????的导数与????′????，????′????有什么关系？ ? 事实上，可以证明，当????????，????????都可导，且????????≠0，有 ? ????????????????′=????′?????????????????(????)????′????????2(????) ? 特别地，当????????=1时，因为1′=0，所以 ? 1????????′=?????′????????2(????) ? 函数商的求导法则： 即时训练： 求????=2????????2+1的导数 ? 例 2.求曲线y=????????????????在(????4，????????????????4) 处的切线方程. ? 解：因为(tanx)′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx?(cosx)′sinxcos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x 所以所求切线的斜率为1cos2π4 =2. 又因为tanπ4=1，所以切点为(π4，1)， 从而可知所求切线的方程为 y?1=2(x?π4)， 即y=2x?π2+1. ? 探究点4 简单复合函数的求导法则 已知?????=sin2????，????????=sin????，????????=2????. 思考1：?????可以由????????与????????得到吗？ ? 如果在fu=sinu?中，令u=gx?=2x，则有 fg(x)=singx=sin2x=hx ? 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称 为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 复合函数的定义： 复合函数可分为内外两层： f (u)为外层函数 g(x)为内层函数. 即时训练：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的. (1)????=(3+sin????)4； (2)????=ln12????+1； (3)????=22?????1； (4)????=11?cos????. ? (????=????4，????=3+sin????) ? (????=ln????，????=12????+1) ? (????=2????，????=2?????1) ? (????=1????，????=1?cos????) ? 思考2：分别求出?′????，????′????，????′????，并总结它们之间的关系. ? 因为hx=sin2x=2sinxcosx，所以 h′(x)=(2sinxcosx)′ =2(sinx)′cosx+2sinx?(cosx)′ =2cos2x?2sin2x =2cos2x. 又因为f′u=cosu，g′x=2，所以 h′x=f′g(x)g′x. ? 一般地，如果函数????=????????与????=????????的复合函数为 ????=?????=????????(????)， 则可以证明，复合函数的导数?′????与????′????，????′????之间的关系为 这一结论也可以表示为 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. ? ?′????=????????????′=????′????????′(????)=????′(????????)????′????. ? ????′????=????′?????????′????. ? 复合函数的导数等于外层导数乘以内层导数. 复合函数求导法则： 例 3.求下列函数的导数 (1) ?????=????5?????1； (2) ????(????)=????????2?????1； (3) ????=2?????1； (4) ????=????????????2????+????3. ? 解：(1) ?(????)=????5?????1可以看成????????=????????与????=????????=5?????1的复合函数， 因此 ?′????=????′????????′????=eu′5x?1′=eu×5=e5x?1. (2)????(????)=????????2????+1可以看成?????=lnu与????=????????=2????+1的复合函数， 因此 ????′????=?′????????′????=lnu′(2x+1)′ =1u ×2=22x+1. ? (3) ????=2?????1可以看成????=????和????=2?????1的复合函数，因此 ????????′=????????′ ????????′=(u)′(2x?1)′=12u×2=2x?12x?1. ? (4) ????=????????????2????+????3可以看成????=????????????????和????=2????+????3的复合函数，因此 ????????′=????????′ ????????′=(sin????)′(2????+????3)′=cos????×2=2cos?(2????+????3). ? 求复合函数导数的步骤 分解 选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系 ????=????(????)， ????=????(????)； ? 求导 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求????′????，再求????′????; ? 回代 计算????′?????????′????，并把中间变量转化为自变量的函数. ? 求导法则 函数和与差的求导法则 函数积的 求导法则 函数商的求导法则 复合函数的求导法则

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