幂函数与指数函数的近似

幂函数 ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha (1+x)α 可以近似为指数函数 e α x e^{\alpha x} eαx，甚至可以进一步近似为 1 + α x 1+\alpha x 1+αx。在一本书中指数平滑方法的介绍中见到了这个近似，总结一下。

对 ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha (1+x)α 在 x = 0 x=0 x=0 处泰勒展开，可以得到 ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 6 x 3 + … (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+\dots (1+x)α=1+αx+2α(α−1)​x2+6α(α−1)(α−2)​x3+…

当 ∣ x ∣ < 1 |x|