竖式计算

乘法竖式的的发明者据称是印度人婆羅摩笈多。

一、多位数乘法

乘法竖式是一种多位数乘法，多位数乘法的原理是分而治之，把复杂的、不能处理的运算，化解为多个简单的，能处理的运算，并最后汇总得到要计算的值。

多位数乘法就是把多位数的乘法拆解为多个个位数的乘法，进位和加法。举例来说吧，就是把3位数被称数乘以2位乘数，拆成两个3位数乘以1位数的乘法，再进一步分别拆成3个个位数的乘法，即6个个位数乘法。

314×48=314×（40+8）=314×40+314×8=（300+10+4）×40+（300+10+4）×8

=300×40+10×40+4×40+300×8+10×8+4×8==12000+400+160+2400+80+32

=15072

能够将乘法拆开本身还是由于存在乘法的分配律。

二、乘法竖式

乘法竖式利用下面介绍的排列方法使得上述多位数乘法的运算的过程直观，整齐，容易验算。

在上述的例子中，把乘数的个位数十位数分别在两行，两行错一位，把一行的3个个位数的乘法的积放在不同的位上，然后累加起来。上面的例子里有很多0存在，对计算是一种干扰，由于已经放在了不同的位上，就可以暂时忽略这些0。

可以参考下面的示意图：

左面的算式等同于多位数乘法中的12000+400+160+2400+80+32=15072，中间的算式把0省略，右边的算是把3行的值压缩到一行，显得更为紧凑，但需要借用加法进位的方法。

1、竖式乘除法（长除法）和短除法有什么区别？是谁发明这种算法的？

我们目前看到的竖式除法都是和阿拉伯数字密切相关的，而阿拉伯数字是印度人发明的，而在印度早期留下的文献当中，学者发现了长除法、竖式乘法的操作方式——因此有足够的把握将这一创造归功于印度人，但是具体到是谁，则不可考了（有学者认为是印度数学家婆罗摩笈多发明了竖式乘法，但对于竖式除法则不确定），可能这是集体劳动人民的智慧.

印度的计算数学和数字表达学一直非常发达，直到今天在计算数学方面印度还是出现了拉马努金这样的奇才. 印度发明阿拉伯数字在公元3世纪左右，在时间上晚于古希腊人的文明（那时的古希腊人一直在寻找数字的几何意义，希望用线段表示数字），在公元8世纪左右传入阿拉伯，又经过200多年终于传入欧洲. 印度人对数字的宽容程度要远高于欧洲人，0这个数字曾经在欧洲引起非常多的争议，但是印度人使用0则非常自然，这大概和印度的文化有关——佛教中有“一切皆空”.

值得一提的是，格子乘法作为一种不同于竖式乘法的乘法计算方法，也是归功于印度数学家婆什迦罗. 但是我们目前往往会误以为这是欧洲人流行的乘法计算方法. 当欧洲人看到格子算法的时候，他们一般会称之为“Napier Grid”（纳皮尔筹），这是因为发明对数的纳皮尔似乎更有名（这在纳皮尔的著作中也出现过）？大概这是因为纳皮尔最先在欧洲地区推荐给学校使用这种方法计算乘法，学校于是采用这种方式进行教学了.

格子乘法

不过，历史的发展的确非常有意思，我们在谈到日心说的时候一般会最先想到哥白尼而不是阿里斯塔克斯，而看到格子乘法会先想到纳皮尔而不是婆什迦罗.

印度人最早的长除法与现代的也有一些差异. 与现代竖式的长除法不同，印度人的长除法是横着的——长除法的命名是为了和直接出结果的短除法相区分. 这种横着和竖着位置的不同让我想起了九章算术中增广矩阵的写法是竖着的，与现代不同.

长除法

短除法

从印度数学的发展中可以看出，印度数学家是进行类比猜想的高手，尽管他们给出的精妙类比在一开始的时候会出现意想不到的错误——比如婆罗摩笈多类比于古希腊的海伦公式，提出知道一般四边形的四边长度，用一个类似于海伦公式的公式形式可以计算出四边形的面积，这个公式也叫婆罗摩笈多公式. 但是婆罗摩笈多作出类比之后就不去思考是否这种计算方法会有行不通的地方，也并不去考虑怎么证明这个公式，他直接将这个公式应用起来了——因为在实际问题中，有了测量的仪器，大致测出四边形的各边长很容易. 事实上婆罗摩笈多公式并非对于一般的四边形都成立，它只对圆内接四边形有效（有趣的是，三角形一定内接于圆）. 印度数学家似乎从传统上就欠缺严格证明的能力，包括印度的国宝级数学家拉马努金，给出许多等式后难以用古希腊的传统进行证明，最后是在和他的导师哈代的合作下证明了一些等式（或许证明的工作主要归功于哈代）. 当然，波利亚认为猜想出一个结论比证明它更重要，比如黎曼猜想我们已经把它当做定理使用好长时间了，这个猜想目前也没有得到学术界认可的证明. 这种直接用但不证的方式和实用主义的印度数学家研究数学的想法一致——不过，很多中学生也不会证明勾股定理的逆定理，但这不妨碍他们直接使用. 而正是印度人用有理数的运算直接类比到无理数的运算中去，不考虑这种类比的逻辑基础，关于计算的数学才不断向前发展，而希腊人在这方面则完全停滞了. 所以这也是一个非常有趣的现象，就像牛顿那个时代的微积分不考虑其严格的逻辑基础一样，不明白微积分的逻辑基础并不妨碍牛顿对微积分的熟练使用.

2、坐标三角形面积的行列式计算公式是由谁发现的？

答案是拉格朗日. 但我们并没有把这一计算公式称之为拉格朗日公式（或许是因为已经有了拉格朗日中值定理？）.

拉格朗日所处的时代的主流世界观是认为世界万物是可以解析出来的，世界运动的规律严格遵循牛顿的机械宇宙观. 因此可以用严格的代数理论来解决几何问题，并且会得到非常优雅的结论（比如牛顿的运动定律最后都以非常优雅的形式呈现）. 怀揣着寻找解析几何中优美的公式（形式）的目的，拉格朗日开始了他的研究. 而且他将几何问题代数化这一点做到了极致——他坚信代数能严格地刻画几何图形，因此在他的发现三角形面积的行列式计算公式的论文中，他没有使用任何图形（当然，现在我们一般习惯看图说话，数形结合），也有可能是拉格朗日一开始画了草图，但觉得代数的语言已经足够清楚准确了，于是删了草图，这跟没有图的某些几何证明题我们还是能复原出草图的想法是一致的. 不过高维的代数几何研究中，的确难以想象高维空间的几何图形. 或许现代数学研究越来越抽象的想法就起源于拉格朗日“在解析几何中需要尽量避免使用图示”的想法（图示不准确）. 当然，牛顿推导数学定律的时候，在他的著作中还是画了大量的图的.

三角形面积的行列式计算公式

拉格朗日不但给出了三角形面积的行列式计算公式，还给出了右边所示的空间中四面体体积的行列式计算公式. 这时候可以发现坐标三角形面积的行列式计算公式要早于坐标系的线性变换（研究线性变换的凯莱要晚于得出三角形面积的行列式计算公式的拉格朗日）. 研究同一个坐标系中的几何图形要比研究坐标变换前后的两个坐标系中的几何图形要容易一些.  

不过，从拉格朗日的论文中我们会发现数学研究与美学欣赏在拉格朗日看来是高度统一的，即使是解析几何，也有优雅之处. 

作者：华师大孟凌讲数学 https://www.bilibili.com/read/cv7350846/ 出处：bilibili