关于函数内部是否可以用等价无穷小的问题

作者：小海考研人

例如 ：

lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( e x − 1 ) ln ⁡ ( ln ⁡ ( 1 + x ) ) \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left( e^x-1 \right)}{\ln \left( \ln \left( 1+x \right) \right)} x→0lim​ln(ln(1+x))ln(ex−1)​

是否可以用 e x − 1 ∼ x e^x-1\sim x ex−1∼x变为： lim ⁡ x → 0 ln ⁡ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( 1 + x ) ) \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln x}{\ln \left( \ln \left( 1+x \right) \right)} x→0lim​ln(ln(1+x))lnx​

这里要理解等价其实是做了一步恒等变形： lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( e x − 1 ) ln ⁡ ( ln ⁡ ( 1 + x ) ) = lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( e x − 1 ) ln ⁡ ( ln ⁡ ( 1 + x ) ) × ln ⁡ x ln ⁡ x = lim ⁡ x → 0 ln ⁡ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( 1 + x ) ) × lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( e x − 1 ) ln ⁡ x \begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left( e^x-1 \right)}{\ln \left( \ln \left( 1+x \right) \right)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left( e^x-1 \right)}{\ln \left( \ln \left( 1+x \right) \right)}\times \frac{\ln x}{\ln x}\\ =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln x}{\ln \left( \ln \left( 1+x \right) \right)}\times \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left( e^x-1 \right)}{\ln x}\\ \end{array} limx→0​ln(ln(1+x))ln(ex−1)​=limx→0​ln(ln(1+x))ln(ex−1)​×lnxlnx​=limx→0​ln(ln(1+x))lnx​×limx→0​lnxln(ex−1)​​ 这里的关键是 lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( e x − 1 ) ln ⁡ x \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left( e^x-1 \right)}{\ln x} x→0lim​lnxln(ex−1)​ 极限是否存在，否则不可拆，且极限值应为1，否则无法省略。所以原问题转化为若 lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( e x − 1 ) ln ⁡ x \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left( e^x-1 \right)}{\ln x} limx→0​lnxln(ex−1)​ 极限值恒为1，则可用等价无穷小。显然对于这题是成立的（使用洛必达计算）。

那么是否所有的情况都成立呢，答案是否定的。例如 lim ⁡ x → + ∞ e x ( 1 + 1 x ) x 2 \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{\left( 1+\frac{1}{x} \right) ^{x^2}} limx→+∞​(1+x1​)x2ex​ ，在计算的过程中， lim ⁡ x → + ∞ e x ( 1 + 1 x ) x 2 = lim ⁡ x → + ∞ e x e x 2 ln ⁡ ( 1 + 1 x ) \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{\left( 1+\frac{1}{x} \right) ^{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{e^{x^2\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}} x→+∞lim​(1+x1​)x2ex​=x→+∞lim​ex2ln(1+x1​)ex​ 分母如果使用等价，则会算出错误的答案，其原因是违反了极限的趋向同时性，人为制造先后顺序。

总而言之，读者应记住下面的原则：

① 若 l i m A , l i m B limA,limB limA,limB 均存在，则可写成 lim ⁡ ( A ⋅ B ) = lim ⁡ A ⋅ lim ⁡ B \lim \left( A\cdot B \right) =\lim A\cdot \lim B lim(A⋅B)=limA⋅limB，其中 l i m A , l i m B limA,limB limA,limB 可分别算之，无所谓先后；

② 否则， lim ⁡ ( A ⋅ B ) = 不能写成 lim ⁡ A ⋅ lim ⁡ B \lim \left( A\cdot B \right) \overset{\text{不能写成}}{=}\lim A\cdot \lim B lim(A⋅B)=不能写成limA⋅limB 。这里，要么 lim ⁡ ( A ⋅ B ) \lim \left( A\cdot B \right) lim(A⋅B) 整体运算，如 lim ⁡ n → 0 x sin ⁡ 1 x = 0 \lim_{n\rightarrow 0} x\sin \frac{1}{x}=0 limn→0​xsinx1​=0 （无穷小量乘以有界变量是无穷小量）；要么 A ⋅ B A\cdot B A⋅B 的极限不存在，如 lim ⁡ x → 0 1 x sin ⁡ 1 x \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}\sin \frac{1}{x} limx→0​x1​sinx1​ 不存在。