线性代数(九) : 矩阵的行简化阶梯型和标准型

矩阵的行简化阶梯型是一种很有用的与原矩阵等价的矩阵，包括有相同的秩,相同的零空间,以及可以用来求解线性方程组

下面以上节的方程组开始做初等变换:

由方程组得到增广矩阵 ：

B=  

下边对B进行初等变换：

B1是行阶梯型矩阵，其特点是：阶梯线下方的数全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的均为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的首非零元.

B2是行最简型矩阵(也可以叫做行最简阶梯型矩阵,或者行简化阶梯型矩阵)，其特点是：非零行的首非零元为1，且这些非零元所在的列的其它元素都为0。

将行最简型矩阵B2应用初等列变换：

B3是标准形矩阵，其特点是，该矩阵的左上角是一个单位矩阵，其它的元素全为零。

其中E3是一个3x3单位矩阵.标准型的作用会在以后介绍

注：将矩阵化为标准形矩阵可以用初等行变换先变成行阶梯矩阵，再变成行最简矩阵，在此基础上再用初等列变换最终化成标准形矩阵，也可以通过用初等列变换将其变成列阶梯形矩阵，再用初等列变换变成列最简形矩阵，最后用初等行变换将其变成标准形矩阵，也可以初等行、列变换并用，将快速把矩阵变成标准形矩阵。但初等列变化不能保证方程组解的不变性,而行最简型矩阵对解线性方程组十分有用.因此要重点掌握.