书接上回。

对于 随机试验E：拋一次骰子和它的 样本空间S={1, 2, 3, 4, 5, 6}，对于它们的每一个事件A（也就是抛出的每个点数），都有一个实数P(A)，可以用来表示事件A在一次实验中发生的可能性大小。这个实数P(A)就叫做事件A的概率。

概率的基本性质如下：

在未来的学习中，我们会了解到，为什么可以用P(A)来表示事件A的概率。

不过，由概率的定义，我们还可以推导出下列概率的其他性质。

性质3叫做概率的减法公式，性质6叫做概率的加法公式，会单独考查！

六个性质的证明（及推广）如下：

证明一般不要求掌握，了解就好

回到我们一开始说的一个实验当中来。

我们看下面两个例子。

试验E1：拋一次骰子，观察它的点数

试验E2：拋一次硬币，分别观察它正面、反面朝上的次数

我们会发现它们有两个共同的特点。

翻译一下就是：结果是有限个数的，并且每个结果出现的概率是相同的。

这种试验就叫做等可能概型，也叫作古典概型（有时候也叫作古典型概率）。

等可能概型的计算公式是啥呢？

（①的意思是可列可加性是有限可加性的一种特殊情况，在这里两者是等价的）

简单点说，就是 A出现的次数/事件的总次数

除了古典型概率之外，还有一种概率跟它相似，叫做几何型概率。几何型概率一般出现在几何图形中，它的计算公式为满足条件的面积/总面积。

说完了古典型概率和几何型概率，我们再来看另外一种情况。依然是下面两个例子：

试验E3：拋一枚硬币，它两次掷出同一面

试验E4：将一枚硬币抛掷两次，在至少有一次正面朝上的情况下，两次掷出同一面

对于试验E3，我们有样本空间S3={ 正正，正反，反正，反反 }，很显然，两次掷出同一面的概率P(A3)=2/4=1/2。

那么试验E4该怎么求解呢？

很显然，试验E4跟试验E3不太一样，它多了一个“前提条件”，也就是多了一次“事件”的情况。我们不妨这么处理。

设事件A4为“至少有一次正面朝上”，事件B4为“两次掷出同一面”。

那么，我们所求的，就已经变成了：在已知事件A4发生的情况下，事件B4发生的概率。

对于试验E4，有样本空间S4={ 正正，正反，反正，反反 }，A4={ 正正，正反，反正 }，B4={ 正正，反反 }。

写到这里，我们就能很显然的发现，“反反”这种情况（事件）是不可能会发生的，所以如果在事件A4发生的情况下，事件B4发生了，那么只可能会是“正正”这一种情况。

又因为事件A4总共包含三种情况，“正正”只是其中的一种，“正正”发生的概率是⅓。

所以，试验E4发生的概率P(B4 | A4)=⅓。

那么问题来了。

试验E3跟试验E4的结果不一样，不一样之处就在于这个“前提条件”上。

有前提条件的概率问题，我们一般叫做条件概率。

条件概率的定义（公式）如下：

通过条件概率的定义，我们不难推导出以下的公式，一般叫做条件概率的乘法公式。

乘法公式可以进行一定的推广。

除了乘法公式之外，条件概率还有全概率公式和贝叶斯公式两个公式。

在介绍全概率公式之前，我们先介绍样本空间的划分的定义。

划分就像“切蛋糕”，是对样本空间的“分组”。

就像对于样本空间E={1, 2, 3, 4, 5, 6}来说，B1={1, 2, 3}和B2={4, 5, 6}就是样本空间S的一个划分。当然，B3={1, 4, 6}和B2={2, 3, 5}就是样本空间S的另一个划分。

知道了划分的概念之后，我们就可以引出全概率公式。

除了全概率公式之外，另一个重要的公式就是贝叶斯公式。

n=2下的全概率公式和贝叶斯公式，是比较常用的两个公式，也是最便于理解的两个公式。

关键词（本节小结）：

概率、条件概率的概念

概率的基本性质

古典型概率和几何型概率的计算

概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式