这篇东西大部分都是直接搬 wiki 和其他论坛的,  只是当作是一个汇总而已.  内容大概为:  讨论 ζ 的收敛性,  求出平凡零点,  证明非平凡零点在临界带 0 < Re(s) < 1 上,  以及证明 s = 1 时 ζ 有一个 1 阶极点.

ζ 函数定义为:

并且在 Re(s) > 1 上收敛.  证明:

  •  在实轴上收敛

根据定义可以有:

看到 ζ(s) 的值小于等于比例 q = 2^(1-s) 等比数列的无穷项和,  根据等比数列无穷项和的收敛条件 |q| < 1 得出 s > 1 时 ζ(s) 收敛.

  •  在复平面上收敛

其中 σ = Re(s),  里面的 ≤ 由三角不等式给出.  于是证明了 ζ 在 Re(s) > 1 时收敛.

-

如果对 ζ 提取公因式,  比如:

正如同所有正整数都可以表示为几个质数的乘积一样,  把所有可能的公因式都提取出来后可以得到:

其中 Π_p 表示对所有质数求积.  可以看到后面的求和实际上是等比数列的无穷项和,  于是得出了 ζ 的欧拉乘积形式:

下面引入 Dirichlet η 函数:

η 在 Re(s) > 0 时收敛.  证明:

由定积分的定义  给出:

同样,  其中的 ≤ 由三角不等式给出.  注意到,  上式的   实际上是对 x ≥ 1 的不连续定积分 (见下图),  并且因为  在 x ≥ 1 时恒大于 0,  所以有

第一个等号仅在 -σ-1 < -1 时成立,  即 σ > 0,  所以 η 在 Re(s) > 0 时收敛.

-

观察到 η 与 ζ 之间的联系:

这个关系在 Re(s) > 1 时绝对守恒,  所以通过定义  可以把 ζ 延拓到 Re(s) > 0 上.

根据两个函数的联系 ,  通过分析 η 的行为,  可以进一步推断出 ζ 的行为.

解方程 :  ,   ,  解得 .  接下来求 :

定义两个与 ζ, η 相似的函数:   和 ,  并且两函数有以下关系:

当 s = s_n 时,  1-2^{1-s} = 0,  即第一项为 0,  所以

根据黎曼和 ,  可以得出:

当 n = 0,  即 s_n = 1 时:

当 s ≠ 0 时,  注意到 1-s_n 为纯虚数,  所以 :

.

由此可得,  .

使用洛必达法则不难知道,  1-2^{1-s} 的所有零点都是一阶零点: 

根据 ζ 与 η 的关系可以知道:  ,  因为如果 ζ 在 s_n 处为极点,  那么 , 这于 η(s_n) = 0 冲突.  同理,  ζ 在 s = 1 处有一阶极点,  并且 .

设函数 f, g 在某个 x 上分别为 m 阶极点和 n 阶零点,  考虑 y = f(x)g(x) 的值:  如果 m < n, 那么 y = 0,  并且是 n-m 阶零点;  如果 m = n,  那么 y 为某个不为 0 的数;  如果 m > n,  那么 y 为 ∞,  并且是 m-n 阶极点.

因为 η 在 Re(s) > 0 上收敛,  当  时,  ζ(s) 都必须收敛.  综上所述,  就是 ζ 仅在 s = 1 有一阶极点,  而在其余 Re(s) > 0 上都收敛.

记 s = σ + i * t,  有:

其中 exp 是指数函数,  根据 ln 的泰勒展开  得

根据欧拉公式  得

由这个表达式可以求得:

其中求和项的括号有 ,  所以求和后必定 ≥ 0,  即

当取  时,  ζ(σ) 变为一阶极点,  那么这时式子说明:  如果 ζ 在 1+it 为零点,  那么在 1+2it 必为极点,  这违反了上面 ζ 收敛的结论,  所以在 Re(s) = 1 上 ζ 不存在零点.

对于 Re(s) > 1,  由欧拉乘积形式的 ζ 可以知道:  如果存在 s 使得 ζ(s) = 0,  那么必定对于某个 p 有 , 然而这是不可能的,  所以 ζ 在 Re(s) > 1 上不存在零点.

实际上,  ζ 在 Re(s) = 1 上不存在零点的结论等价于质数定理 (prime number theorem),  但这个是之后的话题了,  现在先关注 ζ 本身.

黎曼给出了把 ζ 延拓至整个复平面的函数方程 (functional equation),  因此 ζ 得名黎曼 ζ 函数.  这个函数方程为:

证明这个函数方程有点太复杂了,  以后一定.  其中 Γ 定义为:

这里也不会讨论 Γ 相关的东西,  并且也不在乎它可以延拓到 Re(s) < 0,  只需要知道 Γ(s) 在 Re(s) > 0 上都是收敛的,  并且都不等于 0.

上面分析了 Re(s) > 0 时 ζ(s) 只在 s = 1 有极点,  而指数函数和 sin 都是在整个复平面上定义的函数,  那么根据函数方程可以知道 ζ(s) 在 Re(s) ≤ 0, s ≠ 0 时不存在极点.  由此,  就把 ζ 延拓到整个复平面上了 (除了 s = 0, 1 两点).  实际上,  因为有 η(0) = 1-1+1-1+...,  右边为 Grandi 级数,  它的值等于 1/2,  那么通过 ζ 与 η 的联系可以得到 ζ(0) = -1/2.

注意到当 s 为负偶数时,  sin(π/2 * s) = 0,  根据函数方程知道此时 ζ(s) 也为 0,  这些"简单可得"的零点被称为平凡零点.  综上已经求得了 Re(s) ∉ (0, 1) 上的所有零点,  而在临界带 0 < Re(s) < 1 里的零点称为非平凡零点,  黎曼认为非平凡零点的实部都为 1/2,  这就是著名的黎曼猜想,  黎曼猜想与数论息息相关,  但这就是一个超级大坑了,  之后再说吧.