【数学】三维向量绕任意轴的旋转公式

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【数学】三维向量绕任意轴的旋转公式

2024-07-04 10:14:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

关于齐次坐标以及绕坐标轴的旋转，需要提前了解，参考本博客的文章：【数学】齐次坐标、三维点/向量的平移、缩放、旋转

下面来推导绕任意轴 $u(a,b,c)$ （与轴的长度无关，则可以在计算前进行单位化为单位向量，也即 $a^2+b^2+c^2=1$ ）旋转 $\theta$ 角度的公式

首先我们将 $u$ 看待为其由 $z$ 轴，绕y轴旋转了 $\alpha$ ，又绕 $x$ 轴旋转了 $-\beta$ （逆时针是正，顺时针是负）。如果我们要求一个向量绕 $u$ 旋转 $\theta$ 的公式，我们可以先执行将 $u$ 旋转到 $z$ 轴的变换 $R$ ，而后执行绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ ，之后再执行 $R^{-1}$ 将 $z$ 轴再移回 $u$ 。由于有点绕，我们再分步骤详述一下：

将旋转轴 $u$ 绕 $x$ 轴旋转 $\beta$ 转至 $xoz$ 平面将步骤1的成果绕 $y$ 轴旋转 $-\alpha$ 转至与 $z$ 轴重合绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 执行步骤2的逆过程执行步骤1的逆过程

【步骤1】

现在我们来将 $u$ 执行第一个步骤，其旋转为绕 $x$ 轴的普通旋转，其角度为 $\beta$ ，旋转后形成向量 $w$ 在 $xoz$ 平面上，这个 $\beta$ 就等于上图中将 $u$ 投影到 $yoz$ 平面上形成向量 $v$ ， $v$ 与 $z$ 轴的夹角：

我们首先来看绕 $x$ 轴旋转矩阵（参考：【数学】齐次坐标、三维点/向量的平移、缩放、旋转）：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0&cos\beta & -sin\beta & 0 \\ 0&sin\beta & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

要将上述矩阵为已知值 $u(a,b,c)$ 相关，则需要求出向量 $v$ 的长度，其长度由 $v(0,b,c)$ 则长度为 $\sqrt{b^2+c^2}$ ，

其中 $cos\beta=c/\sqrt{b^2+c^2}$ ， $sin\beta=b/\sqrt{b^2+c^2}$ 则绕 $x$ 轴的旋转矩阵记为 $Rx(\beta)$ ：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0&c/\sqrt{b^2+c^2} & -b/\sqrt{b^2+c^2} & 0 \\ 0&b/\sqrt{b^2+c^2} & c/\sqrt{b^2+c^2} & 0 \\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

【步骤2】

我们首先来求向量 $w$ 的值，因为其是由 $u$ 绕 $x$ 轴旋转而来，因此其 $x$ 不会变化为 $a$ ，又因为旋转到了 $xoz$ 平面上，因此其 $y$ 值为0，而旋转不会导致长度发生变化为单位向量，则易求得其 $z$ 分量为 $\sqrt{b^2+c^2}$ ，则

$w=(a,0,\sqrt{b^2+c^2})$

然后将步骤1的成果也就是向量 $w$ ，再绕 $y$ 旋转个 $-\alpha$ （顺时针为负）即可。我们首先来看绕 $y$ 轴旋转矩阵（参考：【数学】齐次坐标、三维点/向量的平移、缩放、旋转）：

$\begin{pmatrix} cos(-\alpha) &0& sin(-\alpha) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \\ -sin(-\alpha) & 0&cos(-\alpha) & 0 \\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

其中 $sin\alpha=a$ ， $cos\alpha=\sqrt{b^2+c^2}$

则绕 $y$ 旋转的矩阵记为 $Ry(-\alpha)$ ：

$\begin{pmatrix} \sqrt{b^2+c^2} &0& -a & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \\ a & 0&\sqrt{b^2+c^2} & 0 \\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

完成【步骤1】和【步骤2】以后，则向量 $u$ 与 $z$ 轴完全重合执行步骤3

【步骤3】绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ ，则绕 $z$ 轴旋转矩阵（参考：【数学】齐次坐标、三维点/向量的平移、缩放、旋转）记为 $Rz(\theta)$ ：

$\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

【步骤4】

因为旋转矩阵是正交矩阵，其逆矩阵与其转轶矩阵相等，因此【步骤4】只需要将【步骤2】转轶即可，得到 $Ry(\alpha)=Ry(-\alpha)^{T}$ ：

$\begin{pmatrix} \sqrt{b^2+c^2} &0& a & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \\ -a & 0&\sqrt{b^2+c^2} & 0 \\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

【步骤5】

同理是【步骤1】的转轶， $Rx(-\beta)=Rx(\beta)^{T}$ ：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0&c/\sqrt{b^2+c^2} & b/\sqrt{b^2+c^2} & 0 \\ 0&-b/\sqrt{b^2+c^2} & c/\sqrt{b^2+c^2} & 0 \\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

【最终】

我们得到绕任意单位向量 $u$ 旋转的结果为 $Ru(\theta)$ ：

$Ru(\theta)=Rx(-\beta)Ry(\alpha)Rz(\theta)Ry(-\alpha)Rx(\beta)$ ，最终结果为：

$\begin{pmatrix}(b^2+c^2)cos\theta+a^2 & ab(1-cos\theta)-csin\theta & ac(1-cos\theta)+bsin\theta &0 \\ ab(1-cos\theta)+csin\theta & b^2+(1-b^2)cos\theta & bc(1-cos\theta)-asin\theta& 0\\ ac(1-cos\theta)-bsin\theta & bc(1-cos\theta)+asin\theta & c^2+(1-c^2)cos\theta &0 \\ 0 & 0& 0& 1\end{pmatrix}$

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