第3章气体分子热运动速率和能量的统计分布律

本章内容3.1麦克斯韦速率分布律 3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速率分布律3.3玻尔兹曼分布律

基本要求☆理解麦克斯韦速率分布函数和速率分布曲线的物理意义.☆掌握气体分子热运动的平均速率，方均根速率.☆了解玻耳兹曼能量分布.☆掌握能量均分定理.☆掌握能量均分定理的意义及其物理基础，☆掌握能由能量均分定理导出理想气体内能公式；

分子热运动情况是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到∞，这个取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数量偶然微观运动的集体效应的问题，即统计的问题，对应的规律就是一个统计规律。3.1麦克斯韦速率分布律

气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律——气体速率分布律。3.1.1速率分布函数的概念

在一定温度的平衡态下，气体分子速率分布的统计规律，称为麦克斯韦速率分布律。

气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。

设总分子数位N，dNv为速率在区间的分子数.，表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比，或者某个单个分子以

区间内的某个速率运动的概率。其中，分布函数

表示在温度为的平衡状态下，速率在附近单位速率区间的分子数占分子总数的比,称为速率分布函数。物理意义则则

表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比.速率分布函数的归一化条件速率位于内分子数

速率位于区间的分子数速率位于区间的分子数占总数的百分比

在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间

v~v+dv

的分子数占总分子数的比率为麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数：m——分子的质量T——热力学温度k——玻耳兹曼常量3.1.2麦克斯韦速率分布律1859年，英国物理学家麦克斯韦运用统计物理的方法从理论上导出了平衡态下理想气体分子按速率分布的统计规律。

麦克斯韦速率分布函数的物理意义：既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意一分子的速率出现在附近单位速率区间内的概率。

如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画出的一条表示f(v)—v之间关系的曲线，称为气体分子的麦克斯韦速率分布曲线。，它形象地描绘出气体分子按速率分布的情况。

vPvv+dvv面积=dNv/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为dv

的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的概率dNv/N

。

气体种类一定（即质量m一定或摩尔质量M一定）时的速率分布曲线。温度一定时速率分布曲线与气体种类不同的关系。气体分子在不同温度、不同质量情况的分布N2分子在不同温度下的速率分布

同一温度下不同气体的速率分布

3.1.3三种统计速率1.最概然速率（最可几速率）vp速率分布曲线中与f(v)极大值对应的速率vp称为最概然速率.

根据分布函数求得

气体在一定温度下分布在最概然速率附近单位速率间隔内的相对分子数最多.物理意义2.平均速率大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.

3.方均根速率

讨论vp

随T升高而增大，随m增大而减小。m2m1T1T2三种速率的大小顺序为三种速率的意义讨论速率分布时——用最概然速率讨论分子碰撞时——用平均速率讨论分子平均平动动能时——用方均根速率都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规率。vv

p

麦克斯韦速率分布中最概然速率的概念下面哪种表述正确？（A）

是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大.讨论

例1计算在时，氢气和氧气分子的方均根速率.氢气分子氧气分子

例2已知分子数，分子质量，分布函数求1）速率在间的分子数；2）速率在间所有分子动能之和.速率在间的分子数2）1）

例3如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率.20001.速度空间的概念3.1.4麦克斯韦速度分布律

首先在经典物理能量变化为连续性的基础上引入速度空间的概念：

速度的连续变化对应空间的连续变化，一个速度矢量对应一组(vx、vy、vz)。以vx、vy、vz为坐标架构起来的“空间”叫做速度空间。速度空间2.速度分布函数

在速度空间内任意点P(vx、vy、vz)处取体积元dv=dvxdvydvz，设此体积元内分子代表点的个数为dN，则任一个分子的速度取在该体积元内的概率为

其中f(vx、vy、vz)称为速度分布函数，其物理意义是速度空间点P(vx、vy、vz)处单位体积元内分子出现的概率。速度分布函数的归一化条件为任一与速度分布有关的物理量的统计平均值为

麦克斯韦统计假设：在热平衡态下，分子按速度的任一分量的分布应与其它分量的分布无关，即按速度三个分量分布是独立的。用f(vx)、f(vy)、f(vz)分别表示分子数各自按vx、vy、vz

分布的分布函数，满足

，

为vx~vx+dvx内分子数；

，

为vy~vy+dvy内分子数；

，为vz~vz+dvz内分子数；由麦克斯韦基本假设有3.麦克斯韦速度分布率的导出进而对气体，速度的分布应是各向同性的，这样就具有球对称性。因此对上式取对数解的形式为令

令有由归一化条件和球坐标系中体积元，归一化方程变为积分解得因此麦克斯韦速度分布函数为麦克斯韦速度分量分布函数为解：如图，设单位体积内的分子数为n，则单位体积内速度分量vx在vx~vx+d

vx之间的分子数为nf(vx)d

vx

。vx

dtdA在dt内能与dA相碰的分子数为：nf(vx)d

vx·vx

dtdA所以，在单位时间内速度分量vx在vx~vx+d

vx之间能与单位面积器壁碰撞的分子数为：而对于vx