§3.3  泰勒公式

常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：

对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。

【问题一】

设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的  次多项式

近似?

【问题二】

若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数。

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是， 所求的多项式为：

 (2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成

这里是与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：

只要对函数  及 在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】

以与为端点的区间或记为 ， 。

函数  在上具有直至  阶的导数，

且 

函数  在上有直至阶的非零导数，

且 

于是，对函数  及  在上反复使用  次柯西中值定理， 有

三、几个概念

1、

此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式；

或者称之为函数在点  处的  阶泰勒展开式。

当  时， 泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。

 为拉格朗日余项。

2、对固定的，若

有 

此式可用作误差界的估计。

故 

表明： 误差是当 时较  高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

3、若，则在  与 之间，它表示成形式   ，

泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式

近似公式

误差估计式

【例1】求的麦克劳林公式。

解：

，

 于是 

有近似公式   

其误差的界为 

我们有函数 的一些近似表达式。

(1)、    (2)、  (3)、

在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求  的 阶麦克劳林公式。

解：

它们的值依次取四个数值 。

其中：  

同样，我们也可给出曲线  的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。

【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。

解：

于是：

利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限 。

解：，  

【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处

因为，从而

当时，，应为  

【例5】利用三阶泰勒公式求 的近似值， 并估计误差。

解：

故：