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今天是高等数学专题的第13篇文章，我们来看看定积分究竟应该怎么计算。

定积分的实际意义

通过之前的文章，我们基本上熟悉了定积分这个概念和它的一些简单性质，今天终于到了正题，我们要试着来算一算这个积分了。

我们先来回忆一下对定积分的直观感受，它可以代表一段曲形面积，比如：

如果我们把上图当中的f(x)看成是速度函数，x轴看成是时间，那么f(x)就表示时刻x时物体运动的速度。那么我们把所有瞬时移动的距离累加，就得到了物体在某个时间段内的位移矢量，而这个位移长度恰好就是我们曲形的面积。我们把定积分和物理上的位移进行挂钩之后，很容易得出一个结论，在物理学上，一个物体发生的位移和时间也是一一映射的关系，所以这也是一个函数。

有了这个结论之后，我们就可以做一个假设，假设一个函数s(t)满足：

\[s(t) = \int_a^t f(t)dt

\]

计算推导

当我们把定积分和物理位移挂钩的时候，我们距离求解它已经很接近了。

根据物理上的定义，物体的运动速度其实就等于位置矢量随时间的变化率，虽然不够严谨，但其实这是一个微分量，可以近似看成是位移函数的导数。当然这个只是直观的认识，我们还需要用严谨的数学语言来表达。

我们假设f(x)函数在区间[a, b]上连续，并且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)\)，我们试着证明\(\Phi'(x) = f(x)\)。

我们取一个绝对值足够小的\(\Delta x\)，使得\(x + \Delta x \in (a, b)\)，那么：

\[\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt

\]

\[\begin{aligned}

\Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\

&= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\

&= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt

\end{aligned}

\]

\[\begin{aligned}

\Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\

\frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi)

\end{aligned}

\]

\[\Phi'(x) = f(x)

\]

为了避免引战，很多课本上都把它叫做牛顿-莱布尼茨公式，用两个人的名字共同命名。

牛顿-莱布尼茨公式

根据原函数的定义，从上面的结论当中我们可以得到\(\Phi(x)\)是函数\(f(x)\)在[a, b]上的一个原函数。我们假设F(x)也是f(x)的一个原函数，所以我们可以知道\(F(x) - \Phi(x) = C\)，这里的C是一个常数。

令x = a，那么可以得到\(F(a) - \Phi(a) = C\)，根据\(\Phi(x)\)的定义，我们可以知道\(\Phi(a) = 0\)，所以\(F(a) = C\)，并且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt\)，代入可以得到：

\[\begin{aligned}

F(x) - \Phi(x) &= C\\

F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\

\int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a)

\end{aligned}

\]

我们回顾一下上面的推导过程，难度并不大，但是几个代换处理非常巧妙，不然的话即使我们可以得到结论，也并不严谨。

总结

有了定积分的计算公式之后，很多我们之前无法解决的问题就都可以解决了，由此奠定了整个微积分的基础，不仅推动了数学的发展，也带动了理工科几乎所有的学科。在各大理工学科之中几乎都有用到微积分进行一些复杂的计算，即使是看起来和数学不那么相关的计算机领域也不例外，这也是大学里为什么给所有理工科的学生开设了这门课的原因。

但遗憾的是，在我们学习的时候往往很难预见它的重要性，然而当我们预见这一点的时候，往往已经是很多年之后，没有那样的环境和时间给我们去好好学习了。

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