高等代数

2024-07-02 16:45:45| 来源: 网络整理| 查看: 265

高等代数¶ 行列式¶ 二阶行列式和三阶行列式¶ 解线性方程组（待定系数消元法）自然出现的表达式递归定义余子式\(M_{ij}\) 代数余子式\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\) 组合定义主对角线（左上到右下↘）上（下）三角行列式（定义用数学描述）对角矩阵转置（行列互换，主对角线对称）几何意义（\(S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} |A_{2 \times 2} |\)，\(V_{OABC} = \frac{1}{6}|A_{3 \times 3}|\)四面体的体积） n阶行列式\(det(A) |A|\)（递归定义性质组合定义）¶ 定义（数归的余子项定义）性质上（下）三角行列式值等于主对角线的元素之积（倍乘变换）将行列式的某一行或者某一列乘以一个常数c，则得到的行列式\(|B| = c |A|\) 如果某一行或者某一列的元素全为0则行列式的值为0 （对换变换）对换行列式的任意不同两行（列），行列式的值改变符号若行列式的两行（列）成比列，则行列式的值为0 （倍加变换）行列式的一行（列）加到另一行（列）上，行列式的值不变行列式按照某一行（列）相加（\(|C| = |A| + |B|,c_{ir}=a_{ir}+b_{ir}\)\((i = 1,2,\cdots,n\)）而其他元素相同行列式的展开和转置¶ 对任意的一列（行）展开（通常按照第一列展开） \(|A| = a_{1r}A_{1r}+a_{2r}A_{2r}+\cdots+a_{nr}A{nr}\)（对任意的r列展开） \(\forall s\ne t,a_{1r}A_{1s}+a_{2r}A_{2s}+\cdots+a_{nr}A_{ns} = 0\) 行列式转置后值不变 \(Cramar\)法则\(x_i=\frac{|A_i|}{|A|}\)\(A_i\)为第i列被b替换行列式的等价定义¶ 定义：全排列，全排列的集合\(S_n\), 逆序对，逆序数\(N\)（逆序对的总个数），偶（奇）排列引理：对换全排列中任意两个数，则全排列的奇偶性改变（先证明对换相邻元素奇偶性改变，再说明对换不相邻元素相当于做了2（j-i）- 1 次相邻对换）引理：设\(n \ge 2,\)\(S_n\)中j奇偶排列各占一半命题：设\((k_1,k_2,\cdots,k_n)\in S_n\),则\(k_1,k-2,\cdots,k_n)\)经过\(N(k_1,k_2,\cdots,k_n)\)次相邻对换可以变为常排列\((1,2,\cdots,n)\)

定理

定理：\(|A| = \sum_{(k_1,k_2\cdots,k_n)\in S_n} (-1)^{N(k_1,k_2,\cdots,k_n)} a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}\)（行列式的组合定义）矩阵¶ 定义¶ 运算¶ 加减法 \((A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)类比向量加法运算规则（4）交换律\(A+B= B+A\) 结合律\((A+B)+C=A+(B+C)\) 零元\(0+A=A\) 负元\(A+(-A)=0\) 数乘 \((cA)_{ij} = ca_{ij}\)每个元素加倍运算规则（5）分配律\(c(A+B) = cA+cB\);\((c+d)A=cA+dA\)（左右分配律）结合律\((cd)A=c(dA)\) 单位元\(1 \cdot A=A\) 零元\(0\cdot A=0\) 矩阵的乘法 \(AB = rowA\times columeB\) 运算规则（4）结合律\((AB)C=A(BC)\) 分配律\(A(B+C)=AB+AC\);\((A+B)C =AC+BC\)（左右分配律）与数乘的交换 \(c(AB)=(cA)B=A(cB)\) 单位矩阵\(m\times n ,I_mA=A=AI_n\) 方阵幂的运算规则（同一般运算）\(A^rA^S=A^{r+s}\);\((A^r)^s =A^{rs}\) 矩阵的转置定义运算规则（4）两次转置复原 \((A^\prime)^\prime =A\) 分配律\((A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}\) 标量乘法转置 \((cA)^{\prime}=cA^{\prime}\) 矩阵乘法转置 \((AB)^\prime = B^\prime A^\prime\) 矩阵的共轭方阵的逆阵¶ 逆阵，可逆阵（非异阵）奇异阵逆阵唯一矩阵乘法的结合律运算规则（4） \(A\)是非异阵两次求逆复原 \((A^{-1})^{-1} = A\) 矩阵乘法求逆 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\) 标量乘法求逆\((cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}\) 转置求逆转置的逆是逆的转置 \((A^\prime)^{-1} = (A^{-1})^\prime\) 伴随矩阵\((A^*)_{i,j}=A_{ij}\)(代数余子式) \(AA^* = A^*A = \left|A\right|I_n\)(对角线上均为\(|A|\)的单位阵) \(A^{-1} = \frac{A^*}{\left|A\right|}\)(\(A\ne 0\))(\(|A|\ne 0\)则\(A\)为非异阵） \(Cramar\)法则矩阵的初等变换与初等矩阵¶ \(Gauss\)消元法（初等行变换）写出系数矩阵的增广矩阵\(A^\sim\) 对换，使第一行，第一列元素不为零第一行乘以某个数加到第二行，重复直到消去第一列除第一列的所有元素重复操作初等变换对换倍乘倍加相抵 \(A\)经过有限次初等变换（行及列）后变成\(B\)，\(A\)与\(B\)等价 \(A\)与\(B\)相抵\(A\sim B\) 相抵关系的性质：自反性：\(A\sim A\) 对称性：\(A\sim B\)则\(B\sim A\) 传递性：\(A\sim B,B\sim C\)则\(A\sim C\) 任一矩阵必相抵与相抵标准形任意一个矩阵都可以经过初等变换化为相抵标准型阶梯形矩阵任一矩经过若干次初等行变换，A可以化为阶梯形矩阵初等矩阵(对单位矩阵初等变换) 分类 - \(P_{ij}\) - \(P_i(c)\) - \(T_{ij}(c) row_i\times c + row_j\)(改变的是的第j行）左乘行变换，右乘列变换矩阵初等矩阵可逆且其逆阵仍是同类矩阵非异阵初等变换后仍可逆，奇异初等变换后仍奇异（反证）初等矩阵行列式 - \(|P_{ij}|=-1,|P_i(c)|=c;|T_{ij}(c)|=1\) 矩阵乘积的行列式与初等变换法求逆阵¶ \(A\)为一个\(n\)阶可逆阵，则仅用初等行变换或者仅用初等列变换就可以将它化为单位阵\(I_n\)

任一\(n\)阶非异阵均可表示成有限个初等矩阵的积\(P_m\dots P_1 A=I_n\)\(A=P_1^{-1}\dots P_m^{-1}\)

一个\(n\)阶方阵 A 为非异阵的充要条件是它的行列式不为 0

任何一个矩阵：\(P_s\dots P_1AQ_1\dots Q_r= D\)(D为A 的相抵标准型）设\(A\)为一个\(n\)阶方阵，\(Q\)是一个\(n\)阶初等矩阵，则\(|QA|=|Q||A|=|AQ|\) 非异阵初等变换后认为非异阵，奇异阵初等变换后仍奇异 \(A\)\(B\)都是 n 阶矩阵，则\(|AB|=|A||B|\) \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\) 求矩阵的逆阵\((A \ I_n)\rightarrow (I_n \ A^{-1})\) 求线性方程组的解\((A \ B)\rightarrow(I_n \ A^{-1}B)\)只进行变换（由于A为非异阵，因此只进行变换则可化为单位阵）（化为阶梯阵可只通过行变换，化为相抵标准型则可能用到列变换）分块矩阵¶ 定义行（列）分块方式，第i分块行（列）相等加法（条件具有相同的行列分块方式）数乘矩阵乘法 A的列分块方式和B的行分块方式相同分块矩阵乘积和普通矩阵的乘积一致转置分块转置，分块内部再转置共轭每一个分块的共轭分块对角矩阵 \(A_i,B_i\)为同阶矩阵\(A = diag\{A_1,A_2,\cdots,A_k\},B=diag\{B_1,B_2,\cdots,B_k\},AB =diag\{A_1B_1,A_2B_2,\cdots,A_kB_k\}\) 分块初等矩阵分块初等矩阵是非异阵\(P^{-1} _{ij}=P^T_{ij},P^{-1}_i（M）= P_{ij}(M^{-1})，T^{-1}_{ij}(M)=T_{ij}(M^{-1})\) Caunchy-Biolet定理¶ 线性空间¶ 线性空间¶ 定义:\(\ K\)是一个数域，\(V\)是一个集合满足八条性质则V是K上的线性空间对加法和数乘封闭(验证子空间）加法：交换律结合律零元（唯一性）负元（唯一性）数乘分配律\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\);\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\) 结合律单位元向量的线性关系¶ 线性组合（线性表示）\(V\)是\(K\)上的线性空间记为\(V(K)\) 注意\(C(R）\)\(\{1,i\}\)为一组基与\(C(C)\)\(1\)与\(i\)线性相关，\(\{1\}\)为一组基（因为此时\(k\)可以取复数）\(\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_n,\beta\in V ,\exist k_1,k_2 \dots k_n\in K,s.t.\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots k_n\alpha_n\)(线性表示唯一的充要条件是\(\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_n\)线性无关）线性相关及线性无关线性组合: 一组向量线性无关，只有系数全为0的线性组合才等于零向量一组向量线性相关，存在系数不全为0的线性组合等于零向量线性表示：一组向量线性无关，任一向量都不能被其他向量线性表示一组向量线性相关，至少存在一个向量能被其他向量线性表示线性方程组\(rank(A) = r = n\)对系数矩阵进行\(Gauss\)消元（初等行变换）化为阶梯型矩阵。计算行秩即为列秩；阶梯点对应的原来的列向量即为列空间的一组基一组列向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)线性无关，\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n = 0\)只有一组全为0的解一组列向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)线性相关，\(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n = 0\)至少有一组不全为0的解已知\(\beta\)能由一组向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)线性表示该组向量线性无关\(\Leftrightarrow\beta\in V\)(同一个线性空间）由该组向量线性表示的方式唯一该组向量线性相关\(\Leftrightarrow\beta\in V\)(同一个线性空间）由该组向量线性表示的方式不唯一向量组的包含关系若一组向量线性相关，则任一包含这组向量的向量组必线性相关；若一组向量线性无关，则从这组向量中任取一组向量必线性无关线性表示的传递性:向量A中向量可由B中向量线性表示，B中向量可由C中向量线性表示，则A中向量可由C中向量线性表示。向量组的秩¶ 极大无关组：线性空间\(V\)中有一族向量\(S\)存在一组向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots \alpha_r\}\) 线性无关这族向量中的任一向量都可以被这组向量线性表示. 向量族**S**的极大线性无关组所含的向量个数称为**S **的秩，\(rank(S)\) 存在性：由有限个向量组成的至少包含一个非零向量的向量族的极大无关组一定存在(对S的向量个数数学归纳)

命题

命题：\(A,B\)是\(V\)中的两组向量，\(A\)中\(r\)个向量，\(B\)中有\(s\)个向量，且\(A\)可由\(B\)中向量线性表示（可用A 中向量替换B的线性表示组） - 若A中向量线性无关，则有 \(r\le s\) - 若\(r>s\),则A中向量线性相关

推论：（秩的唯一性）向量族的两组极大线性无关组的向量个数相等

n维向量空间中任意超过n个的向量必然线性相关

等价

A,B可以互相线性表示，记为A~B

等价的向量组拥有相同的秩（利用上述）

基的判定定理

n维线性空间中任一超过n个向量的向量组一定线性相关 V是n 维线性空间，满足下列条件之一的含有n个向量的向量组是V的一组基线性无关（该向量组和任一v必定线性相关） V中任一向量均可由该向量组线性表示基的扩充定理 V 是n维线性空间，\(v_1,v_2\dots,v_m\)是 V中m(m

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